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Mathematik: Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren
Freigegeben von matroid am Mi. 11. April 2018 09:55:02
Verfasst von Triceratops - (241 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren

Dieser Artikel hat sich aus der Frage motiviert, welche Rechenregeln das arithmetische Mittel $$\overline{m}(a,b) = \frac{a+b}{2}$$reeller Zahlen erfüllt. Man erkennt relativ schnell $\overline{m}(a,a)=a$ und $\overline{m}(a,b)=\overline{m}(b,a)$. Klar ist auch $\overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a',b'))= \overline{m}(\overline{m}(a,a'),\overline{m}(b,b'))$, weil beide Seiten $(a+b+a'+b')/4$ sind. Zwar erfüllt $\overline{m}$ auch weitere Relationen wie z.B. $\overline{m}(\lambda \cdot a,\lambda \cdot b) = \lambda  \cdot \overline{m}(a,b)$, aber hierbei wird die Skalarmultiplikation $\cdot$ genutzt, welche also eigentlich eine weitere Operation darstellt. Wir möchten uns aber auf die Operation $\overline{m}$ beschränken. Tatsächlich kann man zeigen, dass $\overline{m}$ keine weiteren Relationen erfüllt; natürlich abgesehen von denen, die aus den genannten Relationen folgen, wie etwa $\overline{m}(a,\overline{m}(b,c)) = \overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a,c))$. Mit dem Begriff der Mittelpunkt-Algebra und insbesondere der Struktur von freien Mittelpunkt-Algebren lässt sich diese Aussage genauer fassen und auch beweisen. Für das allgemeine arithmetische Mittel $\overline{m}(a_1,\dotsc,a_q) = (a_1+\cdots+a_q)/q$ kann man dann genauso vorgehen.
\(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: 3 Streifen an der Straßenbahn
Freigegeben von matroid am Mo. 02. April 2018 10:59:36
Verfasst von buh - (265 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
3 Streifen an der Straßenbahn

Das Auge sieht mit*
 

Berlin: Jeder halbwegs Fußballinteressierte erstarrte am 10.11.2017 ob der von  ** für 2018 designten Trikots der deutschen Nationalmannschaft. Die Schrift in orthogoniertem Kantenstil, desgleichen die Zahlen. Man durfte 90 Minuen rätseln, wer Ö2IL oder ORAHLER sein könnte; gut, dass H0ENE55 nicht reaktiviert wurde.
Auch nach dem zweiten Spiel (26.03.2018) im neuen (Schrift-)Stil brach die Kritik nicht ab. Man könnte etwas übertrieben auch von einer Shitwetterlage sprechen, die sich hier festsetzt.
\(\endgroup\)
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Physik: Im Zentrum der Milchstraße
Freigegeben von matroid am Mi. 07. März 2018 20:49:18
Verfasst von Ueli - (381 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)

Im Zentrum der Milchstraße


Im April 2017 wurden Radioteleskope von der Antarktis bis nach Frankreich auf das Zentrum unserer Galaxis ausgerichtet. Das Ziel ist, den Schatten des schwarzen Loches Sagittarius A* abzubilden. Es wäre die vorläufig letzte einer Reihe von Messungen, die unser Verständnis der allgemeinen Relativitätstheorie erweitern oder einfach die erwarteten Effekte bestätigen. Bereits die ersten klassischen Messungen zur Bestätigung der allgemeinen Relativitätstheorie waren zur jeweiligen Zeit enorm herausfordernd. So zweifelte Einstein immer wieder, dass bestimmte Messungen zur allgemeine Relativitätstheorie überhaupt möglich seien. Seine Skepsis hatte sich nicht bewahrheitet. Daher soll jetzt nach der Messung der Gravitationswellen, die den Raum nur ganz gering verzerren, die stärkste Wirkung der Gravitation überprüft werden. Trotz der verschiedenen starken Wirkungen sind die Messungen doch ähnlich anspruchsvoll. Während bei der Gravitationswellen-Messung Abstände von einigen $10^{-19} m$ gemessen werden, liegt das Problem beim schwarzen Loch in der Winkelauflösung von 20 Mikro-Bogensekunden begründet.
Was könnte nun aber das Besondere an dieser Messung sein? Nach einer Reihe von Experimenten haben sich die grundlegenden physikalischen Theorien immer wieder bestätigt. Sei es das Standardmodell der Teilchenphysik oder die allgemeine Relativitätstheorie, die Abweichungen zwischen Messung und Theorie blieben aus. Dabei haben insbesondere am CERN viele Physiker auf ein unerwartetes Ergebnis gehofft, das den Weg zu einer umfassenden Theorie aufzeigt.
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Stern Mathematik: Unendliche Tensorprodukte
Freigegeben von matroid am Fr. 09. März 2007 21:10:26
Verfasst von Martin_Infinite - (18189 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)



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Mathematik: Mathematik ist Kunst
Freigegeben von matroid am Di. 27. Februar 2018 11:15:24
Verfasst von Evariste1 - (433 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Der mathematische Beweis als Kunstobjekt

Cédric Villani trägt an seinem Jacket im Dandy-Stil eine große Brosche, welche den Körper einer Spinne nachbildet. Dabei ist er nicht auf einem Kostüm-Ball eingeladen. Es handelt sich um seine Alltagskleidung. Wenn man nicht wüsste, dass es sich bei Villani um einen Mathematiker handelt, dann könnte man aufgrund der exaltierten Kleidung vermuten, es mit einem Künstler zu tun zu haben. Oder ist Villani vielleicht Kraft seiner Tätigkeit als Mathematiker ein Künstler? Immerhin kreieren Mathematiker sinnlich wahrnehmbare Werke (Beweise), welche vom Publikum zuweilen als innovativ und schön bezeichnet werden. Im Rahmen dieses Textes soll die Frage beantwortet werden, ob mathematische Beweise Kunst sind. Wir beginnen unsere Überlegungen mit einer Charakterisierung von Kunst. Wir werden prüfen, ob ein mathematischer Beweis die Charakteristika erfüllt, die Kunst erfüllen muss. Die mathematische Tätigkeit beschränken wir auf das Verfassen von Beweisen. Dabei werden wir zeigen, dass ein Mathematiker frei über die Bestandteile verfügt, die seinen Beweis auszeichnen. Wir werden zeigen, dass ästhetische Erfahrungen mit Beweisen möglich sind. Wir kommen zu dem Ergebnis, dass mathematische Beweise existieren, welche Kunst sind. \(\endgroup\)
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Mathematik: Die Simplexmethode in Basic und Turbo Pascal/Free Pascal
Freigegeben von matroid am Mi. 21. Februar 2018 09:37:37
Verfasst von Delastelle - (198 x gelesen)
Software  \(\begingroup\)
Im folgenden Artikel ist die Simplexmethode der lineren Optimierung in Commodore Basic und Turbo Pascal/Free Pascal implementiert.
Der Ursprung des Basic-Programms stammt aus dem Buch "Planen+Entscheiden mit dem Sharp PC-1500" von X.T.Bui und Herbert Klein.
Ich habe dieses Programm in Commodore Basic und Turbo Pascal/Free Pascal umgewandelt.
4 Beispiele werden mit den Programmen gelöst.

Beispiele 1 bis 3 stammen aus meinem älteren Artikel zum Simplexverfahren und
deren Lösung mittels Scilab und Octave ( http://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1266 ).
Dabei ist Beispiel 1 lösbar, Beispiel 2 nicht lösbar wegen widersprüchlicher Nebenbedingungen
und Beispiel 3 nicht lösbar wegen Unbeschränktheit des zulässigen Bereichs.
Das 4.Beispiel - Klee-Minty mit 3 Variablen zeigt die schlechte Performance des Simplex-Verfahrens - 8 Iterationen werden benötigt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Ein schöner Grenzwert
Freigegeben von matroid am Do. 08. Februar 2018 16:04:56
Verfasst von Wauzi - (692 x gelesen)
Analysis  \(\begingroup\)

Grenzwertbetrachtungen mit der Zahl e



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\(\endgroup\)
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Physik: Über das Biegen von Papier und Textilien
Freigegeben von matroid am Mo. 05. Februar 2018 17:00:07
Verfasst von MontyPythagoras - (627 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)

Über das Biegen von Papier und Textilien


KnotenSorry, ein besserer Titel ist mir nicht eingefallen für mein neues Machwerk aus der Reihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht". Es geht eigentlich um die Biegung von allen möglichen Dingen, die sich elastisch biegen lassen, ohne zu brechen oder eine dauerhafte Verformung anzunehmen. Das können natürlich genauso gut auch Dinge aus Gummi oder Stahldraht oder der klassische Biegebalken sein. Allerdings nimmt es letzterer meistens übel, wenn er sehr stark gebogen wird, weshalb man im Maschinenbau und in der Statik meistens versucht, diesen Zustand zu vermeiden und sich nur mit sehr kleinen Auslenkungen befasst. Das wiederum hat außerdem den Vorteil, dass die Differentialgleichung der Biegung linearisiert und dadurch schön einfach wird.
Aber "einfach" ist langweilig. Wenn man die Differentialgleichung "richtig" löst, kann man auch berechnen, wie sich zum Beispiel ein Blatt Papier biegt, wenn man die beiden Enden zusammenbringt, oder welcher Kurve ein zusammengeschobener Vorhang folgt. Daher auch der Titel... \(\endgroup\)
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Mathematik: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
Freigegeben von matroid am So. 04. Februar 2018 20:34:57
Verfasst von Marbin - (762 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen



Im Folgenden beweisen wir, dass

$\begin{align}2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\end{align}$

in Dezimaldarstellung für alle \(k\in\mathbb{N}_{0}\) mit der Führungsziffer 5 beginnt. Zur Entstehungsgeschichte von \((1)\) sei auf diesen langen aber teils sehr interessanten und (zumindest für mich) lehrreichen Thread verwiesen.

\(\endgroup\)
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