Physik: Die Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen
Released by matroid on Di. 08. Dezember 2020 20:50:40 [Statistics]
Written by Roland17 - 374 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Physik

\(\begingroup\)
Einleitung

Wie ist die Gruppengeschwindigkeit der keilförmigen Wellenschleppe hinter einem Well-Erreger, z.B. einem Boot, Schiff oder Wasservogel (s. Abb. 1 und 4), zu berechnen bzw. wovon hängt sie wie ab?


Abb. 1: Boot mit Wellenschleppe (1)

Allgemein gilt: fed-Code einblenden

Dabei ist fed-Code einblenden die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit, mit welcher sich die V-förmige Wellengruppe jeweils senkrecht zu ihren beiden Fronten ausbreitet. k ist die Wellenzahl k=2π/λ , c ist die Phasengeschwindigkeit (in der Mitte) der Wellen in der Wellengruppe, λ deren Wellenlänge.
Nach (2) gilt für Schwerewellen in Wasser: fed-Code einblenden


Dabei handelt es sich allerdings um eine Näherungsformel, denn in der dort entwickelten Taylor-Reihe werden alle Summanden mit höherer als erster Ordnung vernachlässigt. [Auch die ähnlichen Formeln ω²=D/m für das Federpendel und ω²=g/l für das Fadenpendel sind Näherungsformeln. Sie gelten streng nur für die irrealen Mathematischen Pendel.]

Daraus folgen dann mit c=λ∙ν=ω/k die Näherungsformeln

fed-Code einblenden
Gruppen- und Phasengeschwindigkeit sind also in erster Näherung proportional zu fed-Code einblenden , wobei λ (damit auch c und fed-Code einblenden ) wiederum mit der Geschwindigkeit des Erregers zunimmt (s. Gl.11, 12).

Laut (3) ist der halbe Spitzenwinkel des Keils α bei kleinen Geschwindigkeiten (z.B. Segelschiffen) konstant mit dem Wert
fed-Code einblenden
Auch dies ist eine Näherung mit einem beschränkten Gültigkeitsbereich, denn neuere Untersuchungen (2013) von Rabaud und Moisy (4) zeigen, dass der Winkel bei hohen Geschwindigkeiten des Wellenerregers (z.B. Motorbooten, s. Abb. 2) abnimmt.




Abb. 2: Kielwasser eines Motorbootes mit hoher Geschwindigkeit; α ≈ 7°

Im Folgenden geht es um die Frage, wie die Gruppengeschwindigkeit, die Winkel α und β (s. Abb. 3) sowie die Phasengeschwindigkeit von der Geschwindigkeit v des Erregers abhängen.

Hauptteil

Beobachtet man vom Heck eines Schiffes aus dessen Kielwasser mit der Wellenschleppe, so stellt man fest, dass deren Wellenmuster im Ruhesystem des Schiffes stillsteht bzw. ruht, und zwar auch die Phasenwellen in den beiden Wellengruppen. Die ganze Wellenschleppe bewegt sich im Laborsystem, über Grund, mit derselben Geschwindigkeit v wie das Schiff bzw. der Erreger. Von dieser Tatsache gehen auch Rabaud und Moisy aus und auch Zawischa erwähnt sie am Ende seiner Abhandlung (5). Da dies auch beim Überschall-Knall in Luft der Fall ist, entsprechen die zweidimensionalen V-förmigen Wellengruppen dem dreidimensionalen Machschen Kegel. Der Unterschied ist, dass es in Wasser Dispersion gibt, also unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten bei verschiedenen Wellenlängen, in Luft dagegen nicht.

In Abbildung 3 erzeugt ein Boot in Punkt A eine Bugwelle, welche die Ursache für die eingezeichnete Wellenschleppe ist.


Abb. 3: Wellenschleppe eines Bootes


Durch die Bugwelle breiten sich von jedem Punkt der Bahn aus kreisförmige Wellen mit der Phasengeschwindigkeit c aus. Der mittlere Kreis in Abb. 3 z.B. wurde erzeugt, als die Bootsspitze sich etwas links von Punkt D befand. Der Rumpf des Bootes löscht aber (bis auf einen kleinen Rest, s. Abb.1) den großen mittleren Teil dieser Wellen sofort wieder aus; dieser liegt sozusagen im Schatten des Rumpfes. Nur an den beiden Rändern bleiben schmale, sich nach hinten verbreiternde Wellenstreifen übrig, die sog. Kelvinwellen (1887 untersucht von W. Thomson, dem späteren Lord Kelvin), eine Wellengruppe, die sich wie gesagt mit der Geschwindigkeit v des Bootes nach rechts bewegt.

Wellenfronten breiten sich immer nur orthogonal zu ihrer Ausdehnungsrichtung aus. Die Komponentenzerlegung des Geschwindigkeitsvektors v im Punkt C in Abb. 3 ergibt dann für die Gruppengeschwindigkeit fed-Code einblenden :

fed-Code einblenden
Dies gilt auch bei hohen Geschwindigkeiten, wenn α < 19,5° ist. Wenn bei niedrigen Geschwindigkeiten α konstant ist, ist die Gruppengeschwindigkeit also der Erregergeschwindigkeit proportional.

Aus Gl. 4 folgt:
fed-Code einblenden
Aus Gl. 3 folgt mit Pythagoras:
fed-Code einblenden
Damit folgt aus Gl. 4:
fed-Code einblenden
Die Phasenwelle, die in Abb. 3 durch den Punkt B verläuft, kommt durch die Interferenz der Kreiswellen zustande, welche zwischen den Punkten D und E erzeugt wurden. Sie schließt wie alle anderen Phasenwellen auch mit der Fahrtrichtung den Winkel β ein, der sich bei ihrer Parallelverschiebung zum Punkt E auch dort befindet. Während sich das Boot in der Zeit t von D nach E um die Strecke Δs bewegte, legte die in D entstandene Kreiswelle mit der Phasengeschwindigkeit c die Strecke Δl zurück. In diesem rechtwinkligen Dreieck gilt bei allen Geschwindigkeiten v:
fed-Code einblenden


Mit
fed-Code einblenden
und
fed-Code einblenden

Der Winkel δ, welcher zwischen den Wellenfronten der Phasenwellen und der Gruppenwellenfront besteht (s. Abb. 5), ist die Differenz δ=β-α=41,8°-19,5° .          δ=22,3°



Abb. 4: Wellenschleppe einer Ente mit Bugwelle (1)

Die Phasenwellen in den beiden Wellengruppen sind die seitlichen Teile der Bugwelle, welche ein Schiff (auch eine Ente) vor sich auftürmt. Auch die Bugwelle bewegt sich mit v in Fahrtrichtung. Für sie gilt also                                         c = v                  (siehe 4 ) .

Mit Gl. 1 folgt:
fed-Code einblenden

Dabei ist λ die Wellenlänge der Bugwelle fed-Code einblenden .

Also:
fed-Code einblenden
Ihre Wellenlänge ist proportional zum Quadrat der Erregergeschwindigkeit v . Das muss dann auch für ihre seitlichen Teile, die Phasenwellen gelten. Gesucht ist die betreffende Formel für die Wellenlänge der Phasenwellen (in deren Kernbereich; an den Rändern vergrößern sich die Wellenlängen).

In der Bugwelle kreisen die Wasserteilchen als Folge der Überlagerung einer vertikalen und einer horizontalen Schwingung in einem vertikalen Kreis, welcher in der Fahrtrichtungsebene liegt. Während das Schiff weiterfährt, bleibt diese Kreisbewegung erhalten und damit auch die Bugwellenlänge (s. 4 Fig.3 und Abb.4). Es überlagern sich ihr aber durch die Wasserverdrängung des Rumpfes zur Bewegungsrichtung orthogonale, gegeneinander phasenverschobene Kreisbewegungen, so dass die Kammlinie der daraus resultierenden Phasenwelle um den Winkel fed-Code einblenden (s. Abb. 5) gegen die Gruppenwellenfront gedreht ist. Die Wellengruppe entsteht durch die Interferenz der Bugwelle in Fahrtrichtung und der dazu orthogonalen Querwelle. Ihre Moleküle kreisen effektiv orthogonal zur Gruppenwellenfront, nicht zu den Kammlinien der Phasenwellen. Insofern sind letztere keine echten Wellen, sondern sozusagen Scheinwellen. Daraus erklärt sich, dass sie an der rückwärtigen Front der Wellengruppe scheinbar wie aus dem Nichts entstehen und an der Vorderfront im Nichts verschwinden.



Abb. 5: Zur Herleitung der Wellenlänge der Phasenwellen

fed-Code einblenden

Mit δ=β-α und ε=180°-β         folgt
fed-Code einblenden


Mit Gl. 10 folgt:
fed-Code einblenden
Mit Gl. 9 folgt:
fed-Code einblenden

Der Term (2π/g)∙(sinδ/cosα) ergibt die Konstante 0,258 s²/m.

Also gilt:
fed-Code einblenden

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Wellenlänge der Phasenwellen proportional zum Quadrat der Erregergeschwindigkeit.


Quellen:
(1) de.wikipedia.org/wiki/Bugwelle#/media/Datei:Wake.avon.gorge.arp.750pix.jpg
(2) itp.tugraz.at/LV/ewald/AM/am9.pdf auf S. 185 bis 190
(3) de.wikipedia.org/wiki/Bugwelle
(4) Physical Review Letters PRL 110, 214503 (2013) www.irphe.fr/~duchemin/Journal_Club/Rabaud20132.pdf
(5) www.itp.uni-hannover.de/fileadmin/arbeitsgruppen/zawischa/static_html/KSchlepp.html

\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Gruppengeschwindigkeit :: Wellengruppen :: Wellen :: Physik :
Die Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen [von Roland17]  
Einleitung Wie ist die Gruppengeschwindigkeit der keilförmigen Wellenschleppe hinter einem Well-Erreger, z.B. einem Boot, Schiff oder Wasservogel (s. Abb. 1 und 4), zu berechnen bzw. wovon hängt sie wie ab? Abb. 1: Boot mit Wellenschleppe (1) Allgemein gilt: v_g=domega/dk
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 374
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 20 externe Seitenaufrufe zwischen 2021.01 und 2021.06 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://duckduckgo.com15%5 %
https://google.com420%20 %
https://google.de1470%70 %
https://www.ecosia.org15%5 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 1 Aufruf in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2021.06.16 09:52https://duckduckgo.com/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 14 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
202102-05 (14x)https://google.de/

[Top of page]

"Physik: Die Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen" | 1 Comment
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Die Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen
von: matroid am: Di. 05. Januar 2021 21:13:50
\(\begingroup\)
Hallo Roland,

ich schreibe das hier als Kommentar, damit es nicht so still ist, unter deinem Artikel, denn du wünscht dir ja ein Kritik.

Ich hatte die Situation mal scherzhaft so formuliert:

>>
Ein Mathematiker postet einen Beweis in einer Newsgroup für mathematische Themen. Als nach einer Woche immer noch keine Antwort gepostet worden ist, folgert er zufrieden: "Entweder ist der Beweis richtig oder sie sind alle tot."
<<

Deine beiden Artikel sind evtl. nicht das Spezialthema der Mathematiker. Wir haben hier aber auch Physiker und Ingenieure. Wenn es nötig wäre, würde jemand etwas sagen.

Ich selbst verstehe nichts von dem Thema, ich erkenne aber, dass deine Beiträge genau ausgearbeitet, mit Bedacht aufgebaut und sprachlich und orthografisch einwandfrei sind.
Man erkennt genau, du hast das Handwerkszeug gelernt.

Es ist schade, dass sich (bisher) niemand inhaltlich mit dir für das Thema begeistert. Es wäre schön, wenn du noch Ideen oder Anregungen erhalten würdest.

Viele Grüße
Matroid\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]