Mathematik: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
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Analysis

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Einleitung


Die berühmteste Gleichung dürfte zur Zeit diejenige für das exponentielle Wachstum sein. Ob wir wollen oder nicht, Tag für Tag sehen wir die Kurven der Corona Neuinfektionen.
Es soll hier aber nicht zentral um die Krankheit gehen, sondern um verschiedenen Anwendungen der Wachstumsgleichungen und deren Darstellungen. Daher habe ich Beispiele aus verschiedenen Gebieten betrachtet, die oft kontrovers diskutiert werden. Neben der Immunologie habe ich das Bevölkerungswachstum und die Hubbert-Linearisierung gewählt. Letztere Anwendung ist ein wichtiges Werkzeug zur Abschätzung von Ressourcen (bzw. Reserven).
Alle Beispiele beziehen sich auf ein beschränktes Wachstum, wie es in der realen Welt üblich ist. Die Frage lautet oft, wo denn die Grenzen dieses Wachstums liegen. Durch Extrapolationen mit einfachen Modellen können solche Grenzen geschätzt werden. Zudem geht es mir darum grundlegende Begriffe und Formeln vorzustellen, in Themen die oft in der öffentlichen Diskussion auftauchen.
Eine mathematische Einführung in die Wachstumsfunktionen findet sich in diesem Artikel von Diophant.


Mathematisches


Wachstumsfunktion und Änderungsraten
Um Wachstum zu beschreiben werden zwei verschiedenartige Funktionen verwendet.
Die eigentliche Wachstumsfunktion beschreibt die zeitliche Entwicklung eines Bestandes. Man kann damit beispielsweise angeben, wieviel Kupfer insgesamt bereits gefördert wurde. Diese Funktion wächst monoton, da jede geförderte Menge addiert wird. Es könnte sich natürlich auch in die andere Richtung entwickeln. So wächst die Weltbevölkerung insgesamt zwar, aber beispielsweise in Japan schrumpft sie seit einigen Jahren wieder. Die Kurve des Bestands kann also auch ein Maximum aufweisen.

An Stelle der Bestandsfunktion werden oft auch Wachstumsraten angegeben, also Grössen, die aus der Ableitung der Wachstumsfunktion gebildet werden, also die Wachstums- oder Änderungsrate.
Bei der Bevölkerungszahl verwendet man die Wachstumsrate in Form der prozentualer Änderung pro Jahr. Die absolute Änderungsrate wird hingegen verwendet, um die Jährliche Förderung eines Rohstoffes wie Kupfer anzugeben. Bei der Corona Epidemie werden die wöchentlichen oder täglichen Neuinfektionen bekannt gegeben, also ebenfalls eine absolute Änderungsrate.

Beim logistische Wachstum ist der Start exponentiell. Mit der Zeit erschöpfen sich dann die Ressourcen und das Wachstum flacht ab. Der Gesamtbestand nähert sich asymptotisch einer Grenze. Das Resultat ist eine S-förmige Kurve, die Funktion wird deshalb auch als Sigmoidfunktion bezeichnet. Diese ist eine differenzierbare, reelle Funktion, beschränkt monoton und hat genau einen Wendepunkt.

Die Ableitung der Sigmoidfunktion, die Änderungsrate hat immer einen "Buckel" oder "Berg", also genau ein lokales Maximum und kein lokales Minimum. Aufgrund ihrer Form wird auch der Begriff Glockenkurve verwendet.



Auch wenn hier in erster Linie das logistische Wachstum betrachtet wird, soll noch erwähnt werden, dass es viele weitere Sigmoidfunktionen gemäss der Definition gibt. Darunter der Arcustangens, der Tangens hyperbolicus, die Fehlerfunktion oder einfache algebraische Funktionen wie \({\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\). Diese können das geeignete Werkzeug sein, um Messwerte zu approximieren, die zu einer Grösse mit Sättigungseffekt gehören.

Die Differentialgleichung

Je nach Anwendungsgebiet variiert die Schreibweise der logistischen Differentialgleichung. Wird nicht eine spezielle Anwendung betrachtet ist folgende Form üblich:

\(y'(t)=k\cdot y(t)\cdot \left(G-y(t)\right)\)

Der erste Teil der Gleichung definiert eine Exponentialfunktion. Diese wird aber begrenzt durch den Term \(\left(G-y(t)\right)\). G steht für die obere Schranke und k für die Proportionalitätskonstante oder logistische Wachstumsrate.

Die Gleichung mit den Anfangsbedingungen \(t_0\) und \(y_0\) hat die Lösung:

\(y(t)=G/\left( 1+\left(\frac{G}{y_0}-1\right) e^{-Gk(t-t_0)}\right)\)

Wie die Gleichung gelöst werden kann findet sich hier.

Wendepunkt

Wie bereits gesagt, hat die Kurve einen Wendepunkt, bei dem die halbe Sättigungsgrenze erreicht wird:

\(y(t_W)=G/2\) und \(t_W=t_0+\frac{ln(G/y_0-1)}{kG}\)

Beim Wendepunkt ist die absolute Änderungsrate am Grössten:

\(y'(t_W)=\frac{kG^2}{4}\)

Exponentielles Anfangswachstum
Aus der Definitionsgleichung

\(y'(t)=k\cdot y(t)\cdot \left(G-y(t)\right)\)

lässt sich das Anfangswachstum

\(y'(y\ll G)\approx k\cdot G \cdot y\)

unmittelbar herauslesen. Zu beachten gilt, dass aufgrund der Definition auch die obere Schranke G mit eingeht, auch wenn sie im Anfangsbereich keine Rolle spielt. Dies muss man berücksichtigen, wenn man das Anfangswachstum der logistischen Gleichung mit anderen exponentiellen Wachstumsfunktionen ohne Schranke vergleicht.

Ableitung

Bilden wir die zeitliche Ableitung der logistischen Gleichung, so erhalten wir die Änderungsrate:

\(y'(t)=G^2 k \left(\frac{G}{y_0}-1\right)e^{-Gk(t-t_0)}/\left( 1+\left(\frac{G}{y_0}-1\right) e^{-Gk(t-t_0)}\right)^2=G^2 k/\left(\frac{y_0}{G-y_0}e^{Gk(t-t_0)}+2+\frac{G-y_0}{y_0} e^{-Gk(t-t_0)}\right)\)

welche bereits weiter oben in der "Buckelkurve" visualisiert wurde.

Gaußverteilung

Die Kurve der Gaußverteilung und die Änderungsrate der logistischen Gleichung sehen sich sehr ähnlich, wie in der Darstellung unten zu sehen ist.

Der Unterschied der Kurven liegt vor allem darin, dass die Kurve der logistischen Änderungsrate zu grossen Beträgen von t exponentiell abfällt, die Normalverteilung jedoch quadratisch exponentiell.

Es fragt sich, ob die Gauß-Verteilung nicht auch das passende Modell für gewisse Situationen sein kann. Hinter der Modellbildung der folgenden Beispiele stehen keine physikalischen Grundgesetzte, sondern viele überlagerte Einflüsse, die nur in ihrer Summe betrachtet werden. Es kann daher auch gerechtfertigt sein die statistische Gaußverteilung zu verwenden.
Als Beispiel sei ein Goldrausch genannt. Der Verlauf der Goldförderung folgt einer Glockenkurve. Dies lässt sich mit der logistischen Gleichung begründen. Am Anfang steigt die Goldförderung, da immer mehr Goldgräber tätig werden und sich auch die Infrastruktur verbessert. Mit der Zeit erschöpfen sich die Quellen und die Förderung geht zurück.
Aus der Sicht des Goldgräbers handelt es sich eher um eine Frage des Zeit. Für ihn ist es wichtig, dass er den richtigen Zeitpunkt erwischt. Kommt er zu früh an, ist er auf sich alleine gestellt und er muss sich vor allem um sein Überleben kümmern, kommt er zu spät ist das meiste Gold schon weg.
Die Modellbildung ist also immer auch mit einer individuellen Gewichtung der Einflüsse verbunden.

Alternative Darstellungen

Nicht immer ist obige Form praktisch. Je nach Anwendungsgebiet verwendet man daher Darstellungen, bei denen die interessierenden Variablen explizit eingebaut sind. Daher stehen hier die Definitionen in Kurzform. Eine genauere Erklärung folgt in den entsprechenden Kapiteln.

In der Epidemiologie wird die Reproduktionszahl \(R\) verwendet. Solange nur ein kleiner Teil der Bevölkerung immun ist benötigt man nur den exponentiellen Anfangs-Anstieg. Die Lösung der Gleichung für die absolute Änderungsrate (Buckelkurve) wird vereinfacht zu:

\(I(t)=R^{t/T}\)

Wobei I die Infektionsrate ist und T der Zeitraum, indem die Krankheit ansteckend ist. Die Reproduktionsrate sagt aus, wie viele Personen durch eine erkrankte Person (im Zeitraum T) angesteckt werden.

Um den Abbau von Ressourcen zu beschreiben wird folgende Form verwendet:

\({\displaystyle {\frac {dQ(t)}{dt}}=P(t)=r\cdot Q(t)\cdot \left(1-\frac{Q(t)}{URR}\right)\!}\)

Q(t): Bestand zum Zeitpunkt t (bereits geförderte Menge eines Minerals,usw.)
P(t): Bestandsänderung (Förderquote)
URR: Ultimately Recoverable Resource (Das gesamte förderbare Volumen)
r: Proportionalitätskonstante (viele weitere Bezeichnungen sind gebräuchlich)


Beispiel 1: Immunologie: Mit sanftem Anstieg zur Reproduktionszahl


Reproduktionszahl
Man hört es immer wieder: Die Reproduktionszahl R muss unter Eins sinken. Intuitiv verstehen das die meisten, die schon einmal mit Exponentialfunktionen in Kontakt gekommen sind. Doch nach den genauen Definitionen muss man etwas suchen. Für die Anfangsphase der Epidemie habe ich folgenden Ausdruck gefunden:

\(I(t)=R^{t/T}\)

Die Grösse I steht für die Neuinfektionen. R ist die Anzahl der Leute, die eine infizierte Person im Schnitt ansteckt. Die Zeitspanne T, in der die Infektion weitergegeben wird, ist etwa eine Woche (5...7 Tage). Die Zeit t wird daher auch in Tagen gemessen.
Mit I wird nicht die Wachstumsfunktion betrachtet, also die Entwicklung der insgesamt Erkrankten, sondern die Änderungsrate.
Ist die Reproduktionszahl beispielsweise 2 und starten wir bei zwei Erkrankten, so sind es nach einer Woche 4, nach zwei Wochen 8 Neuerkrankungen usw..
Die Änderungsrate sinkt mit der Zeit wieder, wenn genügend Leute angesteckt sind. Dies wird weiter unten im Abschnitt "Herdenimmunität" behandelt.

Manchmal wird auch die Basisreproduktionszahl \(R_0\) genannt (siehe hier). Diese beschreibt das Potential des Erregers, bei ungehemmter Ausbreitung und liegt bei SARS-CoV-2 bei ca. 3.5. \(R_0\) bleibt konstant, solange sich der Erreger nicht ändert. Die effektive Reproduktionszahl R kann mit Kontaktbeschränkungen gesenkt werden, sinkt aber auch wenn der Erreger keine "Nahrung" mehr findet, also wenn die meisten Personen schon immun sind.

Die Reproduktionszahl kann noch unterteilt werden in

\(R=\kappa \cdot q\cdot D\)

wobei \(\kappa\), für die Anzahl der Kontakte eines Infizierten pro Zeiteinheit steht, \(D\), für die mittlere Dauer der Infektiosität und \(q\), für die Wahrscheinlichkeit der Infektion bei Kontakt. Siehe auch hier
Hiermit erkennt man auch die Grenzen des Modells. Bei den einzelnen Grössen handelt es sich um Durchschnittswerte. Die Erfahrung zeigt aber, dass oft wenige Personen, sogenannte Superspreader, viele weitere Personen anstecken.

Als erster Ansatz ist die Exponentialgleichung sicher gut geeignet, um die Anfangsentwicklung einer Epidemie einzuschätzen. Der Nachteil ist, dass alle Einflüsse in einer einzigen Reproduktionszahl zusammengefasst werden. Wenn man aber die richtigen Massnahmen treffen will, sollte man differenziertere Modelle zur Grundlage nehmen. Eine solches Modell ist auf der Webseite des Physikers Niayesh Afshordi zu finden.

Umrechnung der Exponentialfunktionen
Obige Gleichung für die Änderungsrate ist auf eine geometrische Folge mit dem Quotienten \(R\) zurückzuführen. Die Summe aller je Erkrankten ist dann die Summe der entsprechende Reihe.
Bei der logistischen Gleichung hatten wir als Basis der Exponentialfunktionen hingegen \(e\) verwendet. Man kann die Gleichungen ineinander umrechnen, sieht aber schnell, wieso jede Anwendung ihre eigene Form bevorzugt.
Die Anfangssteigung (Änderungsrate bzw. Neuinfektionen) bei der logistischen Gleichung ist:

\(y'= kG\cdot y=kG\cdot e^{kG(t-t_0)}\)

Dies wird nun gleichgesetzt mit der Infektionsgleichung:

\(I(t)=R^{t/T}=kG\cdot e^{kG(t-t_0)}\), beziehungsweise

\(I(t)=e^{ln(R)\cdot t/T}=e^{ln(kG)}\cdot e^{kG(t-t_0)}\)

Durch den Vergleich der Exponenten erhält man:

\(ln(kG)=kG\cdot t_0\) und damit \(t_0=\frac{ln(kG)}{kG}\cdot \) und

\(kG=ln(R)/T\)

Herdenimmunität
Bisher haben wir den exponentiellen Anfangsanstieg betrachtet. Wachstum ist aber immer beschränkt, vielleicht mal abgesehen vom Universum. Bei der logistischen Gleichung wird das Wachstum zwar immer geringer, braucht aber asymptotisch alle Ressourcen auf. Dies ist in der Immunologie nicht ganz der Fall. Die Krankheit "hungert aus" bevor die ganze Bevölkerung angesteckt ist. Man hat es also nicht exakt mit dem logistischen Wachstum zu tun.

Auf den ersten Blick erscheint das Problem recht knifflig, ist aber für unser einfaches Modell leicht zu bestimmen. Die Grenze ist erreicht, wenn die Reproduktionszahl unter 1 sinkt. Oben wurde gezeigt, wie diese Zahl zusammengesetzt ist:

\(R=\kappa \cdot q\cdot D\)

uns interessiert \(q\), für die Wahrscheinlichkeit der Infektion bei Kontakt. Diese Wahrscheinlichkeit sinkt mit dem Anteil der immunen Personen.
Es muss also werden:

\(R=1=R_0\cdot(G-y)/G=R_0\cdot(1-G/y)\)

, wobei G die Bevölkerungszahl bezeichnet und y/G den Anteil der Immunen. Die Gleichung wird umgestellt und wir erhalten den immunisierten Anteil der Bevölkerung, der zur Erreichung der Herdenimmunität nötig ist:

\(y/G=1-1/R_0\)

Das heisst nicht, dass man nicht mehr angesteckt werden kann, sondern nur, dass die Reproduktionszahl R<=1 wird.
Es sind keine Massnehmen mehr nötig um die Epidemie zu stoppen, daher wird die Basisreproduktionszahl \(R_0\) verwendet. Da diese momentan bei ca. 3.5 liegt, wird die Herdenimmunität bei etwa 70% Durchseuchung erreicht. Dies gilt natürlich nur, wenn die Immunität erhalten bleibt. In der Zwischenzeit sind leider neue Mutationen in Umlauf geraten, mit höheren Reproduktionszahlen.

Mutanten
Mittlerweile sind neue Formen des Virus aufgetaucht. Diese seien ansteckender. Aus diesem Grund wurde die Reproduktionszahl für diese Varianten heraufgesetzt, also beispielsweise von 3 auf 6. Doch dann hat man gemerkt, dass die neuen Varianten nicht ansteckender sind, sondern dass die ansteckende Phase länger dauert, also die Genartionenzeit steigt bei gleichbleibender Ansteckungsrate. Eingesetzt in die Formel ergibt sich: \(I_M(t)={R_M}^{t/T}=6^{t/10d}\). Diese mutierte Gleichung zeigt aber ein Problem auf; die neue Steigerungsrate ist geringer als die vom nicht mutierten Virus, denn die Reproduktionszahl des nicht mutierten Virus könnte man auch folgendermassen schreiben: \(I_n(t)={R_n}^{t/T_n}=3^{2*t/10d}\), beziehungsweise \(I_n(t)=9^{t/10d}\). Natürlich stecken sich mehr Leute an, wenn die infektiöse Phase länger dauert, im Widerspruch zum mathematischen Modell. Woran liegt das? Die Reproduktionsgleichen lässt den Verlauf während der ansteckenden Phase unberücksichtigt. Man tut so, als würden alle Ansteckungen am Ende einer gewissen Zeitspanne erfolgen und dann wieder einige Tage nichts geschehen. Aus diesem und ähnlichen Gründen gibt es Modelle, die die Ansteckungsphase und den Krankheitsverlauf genauer mit einfliessen lassen:
SI-Modell: Keine Gesundung
SIS-Modell: keine Immunitätsbildung
SIR-Modell: Immunitätsbildung berücksichtigt
SEIR-Modell: mit Immunitätsbildung, nach der Infektion nicht sofort infektiös

Wie auch bei den folgenden Beispielen zeigt sich hier: Es gibt zwar gute und nützliche Näherungen für Prognosen, doch die Realität ist einiges komplizierter.


Beispiel 2: Die "Bevölkerungsexplosion"


Zunächst eine historische Überlegung zum Bevölkerungswachstum. Betrachtet man nur feste Geburten- und Sterberaten, ergibt sich ein exponentielles Wachstum. Bereits im Jahre 1798 untersuchte der Wissenschaftler Thomas Robert Malthus das Verhältnis von Bevölkerungswachstum und Bodenertrag. Er erkannte das geometrische Wachstum der Bevölkerung und setzte ihm das lineare Wachstum des Bodenertrags entgegen (Wikipedia). Als Folge davon prognostizierte er Hunger und Armut, da die Bevölkerung schneller wachse, als das Nahrungsangebot. Indem er begrenzte Ressourcen in seine Überlegungen mit einbezogen hat, leistete er wesentliche Vorarbeit auf dem Weg zur logistischen Funktion. Die Bevölkerung hat sich allerdings anders entwickelt, wie das Diagramm zeigt.



Das Wachstum der menschlichen Bevölkerung hält sich bisher also nicht an die einfache mathematische Vorlage. Die Senkung der Sterblichkeitsrate und die Verbesserung des Nahrungsangebots durch Fortschritte in Medizin und Landwirtschaft führten zu einem über-exponentiellen Wachstum. Bei der einfach logarithmischen Darstellung erscheint eine Exponentialkurve gerade. Dies war auch in etwa der Verlauf der Bevölkerungskurve bis in die Antike (Allerdings glaube ich, dass die Daten, die ich verwendet habe, in den Anfangszeiten geschätzt und der vermuteten Exponentialkurve angeglichen sind).
Im Jahr 1968 erschien das Buch „Die Bevölkerungsbombe“ des Stanford-Professors Paul Ehrlich und seiner Frau Anne. Die Argumentation erinnert stark an diejenige von Thomas Robert Malthus.
In den obigen Graphiken mag man leicht eine "Explosion" erkennen, doch die Bilder sind irreführend, was man sieht, wenn man die jüngere Vergangenheit herauszoomt.



Das Wachstum ist also immer noch vorhanden, aber die Wachstumsrate sinkt seit den frühen 1960er Jahren ("world-population-growth").

Prognosen
Angenommen die Bevölkerung entwickelt sich weiter wie seit den 70er Jahren. Durch eine Approximation in der Vergangenheit kann man eine Prognose für die Zukunft erstellen, natürlich immer unter der Voraussetzung, dass sich die Umstände nicht ändern.
Beim exponentiellen Wachstum bleibt der Exponent konstant. Die Wachstumsrate der Bevölkerung fiel jedoch ungefähr von 2% im Jahr 1970 auf 1% 2020. Aus einer linearen Extrapolation kann man damit auf ein Bevölkerungsmaximum im Jahr 2070 schliessen.
Die Wachstumsrate ist die Differenz aus Geburten- und Sterberate. In den letzten Jahrzehnten sank die Sterberate, aber die Geburtenrate sank noch schneller. Es ist zu erwarten, dass die überwiegende Mehrheit der Menschen nicht mehr älter wird, folglich wird das Bevölkerungswachstum noch stärker zurückgehen, als in dieser einfachen Extrapolation. Für weitere Einzelheiten benötigen wir den Kurvenverlauf. Ein naheliegender Ansatz lautet:

\(B=B_0\cdot e^{k_0\cdot(t-t_0)-m\cdot (t-t_0)^2}\)

Randbedingungen:
In der Gleichung ist der Faktor m zu bestimmen. Diesen kann man berechnen, indem man folgende Randbedingungen einsetzt:

\(t_0\) liegt im Jahr 1970, mit \(B_0\)=3.7E9 Einwohnern,
\(t_1\) liegt im Jahr 2020, mit \(B_0\)=7.8E9 Einwohnern,
\(k_0\) ist die Anfangsrate von 2%.

Es wird:

\(7.8E9=3.7E9\cdot e^{0.02\cdot 50 -m\cdot 50^2}\)
\(ln(7.8/3.7)=1 - 2500m\)
\(m\approx 0.0001\)

und somit
\(B=B_0\cdot e^{0.02\cdot(t-t_0)-0.0001\cdot (t-t_0)^2}\), was folgenden Verlauf ergibt:


Nach dieser Extrapolation liegt das Maximum im Jahr 2070 bei gut 10 Milliarden Leuten.
Es gab schon viele Prognosen zur Bevölkerungsentwicklung. Die meisten haben das Wachstum stark überschätzt, nach einer Prognose sollten wir sogar eine unendliche Bevölkerungszahl bereits überschritten haben.
Eine aktuelle Studie ist im Medizin-Fachblatt "The Lancet" erschienen und geht von einem Maximum von 9.7 Milliarden Menschen im Jahr 2064 aus, also ähnlich wie in der obigen Extrapolation. Dies zeigt auch, dass das beschränkte Wachstum oft gute Schätzungen liefert, solange man über die Details und Ursachen nur ungenau Bescheid weiss. Bei vielen anderen Schätzungen wird ein einzelner Faktor über-gewichtet, was zu krassen Fehleinschätzungen führen kann.
Im Gegensatz zu diesen einfachen Interpolations-Extrapolationsmodellen wurden 1972 in die Grenzen des Wachstums auch Rückkopplungseffekte berücksichtigt. Begrenzende Faktoren wie Ressourcenverknappung und Umweltverschmutzung wurden mit einbezogen. Solche Modelle sind jedoch empfindlich von den Randbedingungen abhängig. Daher wurden damals auch viele Simulationen mit unterschiedlichen Annahmen durchgeführt. Der sogenannte Standardlauf führt zu einem Bevölkerungsmaximum bereits im Jahr 2030, mit einer Bevölkerungszahl, die leicht unterhalb der aktuellen liegt. Eine gute Übereinstimmung zeigt hingegen die Kurve unter der Annahme der massiven Nutzung von neuer Technologie. In diesem Lauf wird das Maximum mit ca. 9.5 Milliarden Menschen um 2050 erreicht.

Wieso Wachstum?
Hätte das Bevölkerungswachstum keine Vorteile (zumindest kurzfristig), würde es wohl nicht existieren. Viele Regierungen fördern das Bevölkerungswachstum, denn eine wachsende Bevölkerung bedeutet auch eine jüngere Bevölkerung. Es kann auch dazu dienen die Machtposition gegenüber anderen Ländern zu stärken. Der Hauptgrund aber liegt wahrscheinlich in der Alterssicherung für die arme Bevölkerung.
Eine schrumpfende und damit eine alternde Bevölkerung, wie in Japan, ist auch problematisch. Technologie alleine reicht wohl nicht, um Produktivität und Lebensstandard aufrecht zu erhalten. Daher muss sich Japan wahrscheinlich gegenüber Einwanderern öffnen.

Die Wachstumsraten der verschiedenen Länder sind auf das Bevölkerungswachstum der Länder zu finden, aktuelle Daten findet man hier. Ich nehme an, dass die Daten aus Syrien, das die höchste Wachstumsrate zeigt, veraltet sind.

Wesentlich einfacher als bei Menschen sind die Verhältnisse bei Bakterienkulturen, welche ein begrenztes Nahrungsangebot zur Verfügung haben. Doch auch die Ressourcen für die Menschheit sind begrenzt, was im nächsten Abschnitt thematisiert ist.


Beispiel 3: Die Hubbert Linearisierung


In diesem Abschnitt geht es um Rohstoffe und deren Ausbeutung.
Im Jahr 1973 war es eine grosse Freude für uns Kinder, als die Strassen für vier Sonntage autofrei wurden. In der Wirtschaft war die Freude über das knappe Öl weniger verbreitet, denn das Öl war damals wie heute der wichtigste Primärenergieträger.
Der Auslöser der Krise war der Jom-Kippur-Krieg und damit die Drosselung der Lieferungen aus Nahost.
Allerdings ist diese Abhängigkeit dadurch entstanden, dass die Ölförderung in den USA kurz zuvor ihr Maximum überschritten hat, der Peak Oil war überschritten und die Fördermenge konnte den Eigenbedarf nicht mehr decken.
Ob Goldrausch oder Ölförderung, der Ablauf ist meist ähnlich. Die Fördermenge steigt zunächst stark an, erreicht dann einen Peak und fällt schliesslich wieder ab. Es stellt sich darum die Frage, wie man typische Förderkurven mathematisch beschreiben kann. Ich möchte hier zeigen wie die Abschätzungen von Reserven nach Marion King Hubbert funktioniert. Dabei handelt es sich um die Anwendung eines einfachen mathematischen Modells (der logistischen Wachstumsfunktion) auf die Förderung von Rohstoffen.

Im Zusammenhang mit Rohstoffen sollen zunächst einige Begriffe genannt werden:
Reserven sind die Vorkommen, die mit heutiger Technik wirtschaftlich abbaubar sind
Ressourcen sind zwar vorhanden, aber (noch) nicht wirtschaftlich abbaubar.
Die Reichweite ist die Zeitspanne bis die Reserven oder Ressourcen voraussichtlich abgebaut sind
Der Peak bezeichnet die maximale Fördermenge.

Durch steigende Preise und den Einsatz neuer Fördermethoden, durch die auch schlechte oder zuvor unzugängliche Rohstoffe gefördert werden können, können Ressourcen in Reserven umgewandelt werden.
Der Zeitpunkt für die weltweite maximale Fördermenge von Öl wird schon lange diskutiert. Dabei ist zu beachten, dass der peak-oil ist nicht das Ende vom Öl bedeutet. Er bezeichnet den Zeitpunkt, ab dem die Fördermenge stagniert und schliesslich zurück geht. Es kann dann immer noch weiter gefördert werden, bis die Reichweite erreicht ist (geschätzte 50 Jahre laut dieser Seite der Ölindustrie). Allerdings ist die Reichweite ein trügerischer Begriff, denn sie berechnet sich aus der Annahme, dass die Fördermenge aufrecht erhalten werden kann (statische Reichweite) oder sogar ansteigt (dynamische Reichweite). Erfahrungsgemäss sinkt die Fördermenge jedoch zum Ende hin, so wie es die logistische Funktion aufzeigt. Dies kommt daher, dass die leicht zugänglichen Quellen mit hoher Konzentration bereits ausgebeutet sind. Sobald der Peak überschritten ist gibt es eine Verknappung. Die Probleme treten also nicht erst auf, wenn die statische Reichweite überschritten wird, sondern schon nach dem Peak, wenn das Angebot sinkt.

Damit will ich zum eigentlichen Thema des Abschnitts kommen. Im Zusammenhang mit der Reichweite kann man sich fragen, wie viel des entsprechenden Rohstoffs vorhanden ist. Dies ist nicht einfach, denn einerseits kann man Vorkommen tief in der Erde nicht genau messen, anderseits sind Aussagen oft auch politisch oder wirtschaftlich motiviert (Gerade in Krisengebieten werden die Mengen oft übertrieben). Wenn aber ein Vorkommen schon einige Zeit unter gleich bleibenden Rahmenbedingungen ausgebeutet wird, gibt es die recht zuverlässige statistische Methode nach Hubbert.
Wir wollen also die förderbare Gesamtmenge ermitteln. Bei anderen Anwendungen ist diese Fragestellung natürlich völlig irrelevant. Es ist beispielsweise nicht von Interesse aus dem Verlauf der Corona-Epidemie auf die Einwohnerzahl zu schliessen.
Wir beginnen mit der Differentialgleichung

\({\displaystyle {\frac {dQ(t)}{dt}}=P(t)=k\cdot Q(t)\cdot \left(1-{\frac {Q(t)}{URR}}\right)\!}\)

Statt zu Integrieren wird nun einfach algebraisch umgestellt:

\({\displaystyle {\frac {P(t)}{Q(t)}}=k\cdot \left(1-{\frac {Q(t)}{URR}}\right)\!}\)

Was haben wir damit gewonnen? Wir kennen die Fördermenge und die gesamte bisherige Förderung. Was wir gerne wissen würden ist das gesamte Vorkommen (URR). Betrachten wir nicht mehr die Zeitabhängigkeit, sondern die Abhängigkeit der relativen Förderquote von der geförderten Menge, erkennen wir eine Geradengleichung:

\({\displaystyle {\frac {Q'}{Q}}(Q)=k \left(1-\frac{Q}{URR}\right)\!}\)

Zeichnet man die Gerade in ein Q zu Q'/Q Koordinatensystem ein, so kann man am Schnittpunkt mit der Ordinate den Faktor k ablesen und am Schnittpunkt mit der Abszisse das gesamte Vorkommen. Ein solches Diagramm ist unten links zu sehen. Auffällig ist, dass die ersten Werte weit über der gesuchten Gerade liegen. Dies kommt einfach daher, dass schon zu Beginn der Förderung grosse Maschinen eingesetzt werden und nicht mit der Schaufel begonnen wird. Mit der Zeit und mit sinkendem Restbestand nähert sich die Förderkurve meist der Modellgeraden an.
Nicht immer folgt die Förderung der Hubbert Kurve. Eine gute Übereinstimmung zeigt beispielsweise den Verlauf der Erdölförderung vor Norwegens Küsten:

Credit:        S. Foucher, Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 Generic licens

Aktuelle Daten zeigen, dass die Förderung nach dem Peak etwas weniger schnell sank, als es die Hubbert Prognose vorsieht.

Nicht immer stimmen die Kurven so schön wie bei der Norwegischen Erdölförderung. Bei der weltweiten Förderung ist die Abschätzung schwieriger. Dass in letzter Zeit so viel in die Elektromobilität investiert wird, ist meiner Ansicht nach ein Hinweis darauf, dass der Peak unmittelbar bevorsteht oder bereits schon überschritten ist.

Schlussbemerkung


Über die behandelten Themen ist schon viel gesagt und geschrieben worden. Es scheint fast unmöglich sich ein Urteil zu bilden. Kommt dazu, dass das Urteil oft schon zum Vornherein feststeht und die Recherche nur noch zur Bestätigung dient, denn man findet jede Meinung bestätigt.
Aussagen und Behauptungen mit mathematischen Modellen zu überprüfen ist zwar etwas anstrengender, ergibt aber schnell ein viel klareres Bild vom Thema. Ich habe versucht aufzuzeigen, dass schon einfache Modelle oft gute Schätzungen ergeben.
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"Mathematik: Wachstumsfunktionen in der Anwendung" | 4 Comments
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Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
von: traveller am: Do. 08. April 2021 09:39:59
\(\begingroup\)
Hallo,

Das scheint mir nicht zu passen:


Für die Anfangsphase der Epidemie habe ich folgenden Ausdruck gefunden:

\(I(t)=R^{t/T}\)

Die zweite Differentialgleichung im SIR-Modell ist
$$\begin{align}
I'(t) &= \beta\cdot S(t)-\frac{1}{D}\cdot I(t) \\
&= \left(\beta-\frac{1}{D}\right)\cdot I(t) \\
&= \frac{\beta\cdot D-1}{D}\cdot I(t) \\
         &= \frac{R-1}{D}\cdot I(t) \\
\end{align}$$ mit $R=\beta\cdot D$ und ich habe verwendet, dass am Anfang der Pandemie noch $S(t)\approx 1$ ist.

Die Lösung davon ist
$$I(t)=I(0)\cdot e^{\frac{R-1}{D}\cdot t}\enspace,$$ schaut also doch etwas anders aus. Qualitativ ist der Schluss allerdings der gleiche, wir haben exponentielles Wachstum wenn $R>1$.

Oder missverstehe ich da etwas? Sind $T$ und $D$ verschiedene Zeiten?\(\endgroup\)
 

Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
von: Diophant am: Do. 08. April 2021 19:20:29
\(\begingroup\)
Hallo Ueli,

ein schöner Artikel mit interessanten und vor allem aktuellen Beispielen zur Anwendung von Wachstumsmodellen. Vielen Dank dafür!

Eine Sache würde mich interessieren: beim Bevölkerungswachstum schlägst du ja das Modell des (fremd-)vergifteten Wachstums vor (und eben nicht das vielleicht sogar auf den ersten Blick naheliegendere Modell des Wachstums mit Selbstvergiftung).

Was wäre dann da sozusagen das Gift, also das hemmende Element? Die naheliegendste Annahme wäre hier ulkigerweise der (weltweit gesehen) zunehmende Bildungsgrad...


Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
von: Ueli am: Do. 08. April 2021 22:41:14
\(\begingroup\)
@traveller
Für die Darstellung habe ich mich an der Definition in den Medien orientiert, damit man den Bezug einfach herstellen kann. Ich höre immer wieder: Die Reproduktionszahl bezeichnet die Anzahl Personen, die eine infizierte Person ansteckt. Nun kann man eine diskrete Gleichung herleiten, z.B. alle 5 Tage verdreifachen sich die Zahl der Ansteckungen. Dann wird oft der Übergang zur kontinuierlichen Gleichung gemacht. Dass dies nicht ganz stimmt habe ich auch im Abschnitt "Mutanten" gezeigt, allerdings nicht bis ins Detail. Müsste ich nochmals genauer nachvollziehen.
@Diophant
Fruchtbarkeit und Sterberate haben viele Einflüsse, über die ich nur spekulieren kann. Die Sterberate kann beispielsweise erhöht werden durch Alkohol und Drogensucht, die in schlechten Zeiten zunehmen. Aber ich denke die Geburtenrate ist viel entscheidender für die Wachstumsbilanz, denn ob jemand geboren wird oder gar nie da ist, macht mehr aus, als wenn jemand früher oder später stirbt.
Bei der Fruchtbarkeit gibt es biologische und gesellschaftliche Faktoren, wie die Bildung, die du erwähnt hast. Ich habe schon verschiedentlich gelesen, dass bei uns die biologische Fruchtbarkeit abnimmt. Was mich wundert ist, dass darüber so wenig genaues bekannt ist.\(\endgroup\)
 

Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
von: Gerhardus am: Sa. 10. April 2021 12:32:31
\(\begingroup\)
Bzgl. der gegenwärtigen Pandemie finde ich den  Wikipedia-Artikel über das SIR-Modell recht gut verständlich.
Die Anzahl Infizierten I(t) wächst proportional zu I(t) und proportional zu den Infizierbaren S/N (S sind alle nicht immunen, nicht infizierten Personen und N die Gesamtbevölkerung). Das entspricht ungefähr der Diff.gleichung  y′(t)=k⋅y(t)⋅(G−y(t)), wo G den Wachstumsraum darstellt und das Wachstum auch proportional zum noch freien Raum ist.

Da die Genesungen auch wieder proportional zu I sind, ist die Gleichung für I'(t) zu erweitern. Wegen der Immunität der Genesenen ist S keine Konstante und sinkt proportional zu I und S/N.\(\endgroup\)
 

 
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