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Vorschau:
Re: Jede natürliche Zahl ist hochinteressant
\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hier der Beweis für die nicht ausgearbeitete Stelle.
Seien u und v zwei hochinteressante Zahlen.
Beh.: u+v ist hochinteressant.
Bew.: Induktion über min(u,v).
Sei o.B.d.A. uInduktionsanfang: Für u=v=1 ist u+v=2. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl, darum hochinteressant. Weiteres sei dem Leser zur Übung überlassen.
Induktionsvoraussetzung: Für hochinteressante Zahlen u und v mit min(u,v) = n (>=1) ist u+v hochinteressant.
Induktionsbehauptung: u+v ist hochinteressant für min(u,v) = n+1
Sei o.B.d.A. u Es ist u + v = (u-1) + (v+1).
Nun ist min(u-1,v+1) = u-1 = n. Nach Induktionsvoraussetzung folgt, daß (u-1) + (v+1) hochinteressant ist => u+v ist hochinteressant.
[Anm.: Weil n>=1 und min(u,v) = u = n+1 > 1, ist u-1 ein Element von N]

Ich möchte versuchsweise noch folgende Vermutung über einen Zusammenhang der hochinteressanten Zahlen mit den Primzahlen vorschlagen:
Die Menge der hochinteressanten Zahlen ist gleichmächtig zur Menge der Primzahlen, und die Anzahl der hochinteressanten Zahlen, die kleiner oder gleich x sind, ist asymptotisch gleich 2x*log(x)/log(x²).

 
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