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Separable Erweiterungen

Separable Erweiterungen

Sei $\overline{K}$ ein algebraischer Abschluss von $K$. Sei $L/K$ eine algebraische Erweiterung. Wir nennen $a \in L$ separabel über $K$, wenn das Minimalpolynom $f \in K[T]$ von $a$ nur einfache Nullstellen in $\overline{K}$ besitzt. Wir nennen $L/K$ separabel, wenn jedes Element separabel ist.

Lemma Seien $L/E/K$ zwei algebraische Erweiterungen. Sei $L/K$ separabel. Dann sind auch $L/E$ und $E/K$ separabel.

Beweis. Dass $E/K$ separabel ist, ist trivial. Dass $L/E$ separabel ist, liegt daran, dass das Minimalpolynom von $a \in L$ über $E$ das Minimalpolynom über $K$ teilt. $\checkmark$

SatzSei $L/K$ eine endliche Erweiterung. Dann hat $\mathrm{Hom}_K(L,\overline{K})$ höchstens $[L:K]$ Elemente. Wenn $L/K$ separabel ist, gilt sogar Gleichheit.

Beweis. Der erste Teil ist ein Spezialfall von . Dass im separablen Fall Gleichheit gilt, beweist man tatsächlich genauso wie . Im Induktionsschritt muss man hierbei nur beachten, dass $K \longrightarrow \overline{K}$ genau $[K(a):K]$ Fortsetzungen auf $K(a)$ hat, weil $a$ separabel ist, und dass $L/K(a)$ separabel ist (). $\checkmark$

Weil ich versprochen hatte, keine Dimensionsargumente zu verwenden: Tatsächlich geht beim Beweis des Hauptsatzes der Galoistheorie () nicht ein, lediglich bei der Bestimmung der Ordnung der Galoisgruppe (). Übrigens lässt sich der zweite Teil von auch umkehren: Eine endliche Erweiterung $L/K$ ist genau dann separabel, wenn $\mathrm{Hom}_K(L,\overline{K})$ genau $[L:K]$ Elemente hat. Daraus kann man dann wiederum ableiten, dass eine von separablen Elementen erzeugte algebraische Erweiterung bereits separabel ist. Wir werden das hier aber nicht verwenden.

LemmaSei $L/K$ eine algebraische Erweiterung und $a \in L$ separabel über $K$. Für alle $K$-Homomorphismen $\alpha,\beta : L \longrightarrow \overline{K}$ gelte $\alpha(a)=\beta(a)$. Dann ist $a \in K$.

Beweis. Weil sich je zwei $K$-Homomorphismen $K(a) \longrightarrow \overline{K}$ auf $L$ fortsetzen lassen (), dürfen wir $L=K(a)$ annehmen. Wegen bedeutet die Annahme dann gerade, dass das Minimalpolynom von $a$ über $K$ genau eine Nullstelle in $\overline{K}$ besitzt. Weil die Nullstellen andererseits paarweise verschieden sind ($a$ ist separabel), muss das Minimalpolynom Grad $1$ besitzen. Das bedeutet aber $a \in K$. $\checkmark$
 
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