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Kombinatorik

Etwas Kombinatorik

In diesem Abschnitt beweisen wir kombinatorische Resultate, die alle Varianten der aus der linearen Algebra bekannten Tatsache sind, dass ein Vektorraum niemals die Vereinigung von zwei echten Unterräumen ist. Wir richten uns hier nach dem Paper "On the representation of fields as finite unions of subfields" von Bialynicki-Birula, Browkin, Schinzel.

LemmaSei $V$ ein $K$-Vektorraum, wobei $K$ unendlich ist. Dann kann $V$ nicht als Vereinigung von endlich vielen echten Unterräumen geschrieben werden.

Beweis. Angenommen, es gilt $V = V_1 \cup \cdots \cup V_n$ mit echten Unterräumen $V_i$. Wir machen eine Induktion nach $n$, wobei die Fälle $n=0,1$ trivial sind. Sei $n \geq 2$. Nach Induktionsannahme gibt es ein $v \in V \setminus (V_2 \cup \cdots \cup V_n)$. Es folgt $v \in V_1$. Wähle ein $w \in V \setminus V_1$. Für alle $\lambda \in K$ ist $v + \lambda w \notin V_1$, und dies sind unendlich viele Vektoren. Es gibt also ein $V_j$ mit $2 \leq j \leq n$, welches unendlich viele dieser Vektoren enthält. Wegen $(v + \lambda w) - (v + \lambda' w) = (\lambda - \lambda')w$ folgt $w \in V_j$ und weiter $v \in V_j$, Widerspruch. $\checkmark$

LemmaSei $G$ eine unendliche Gruppe. Seien $G_1,\dotsc,G_n$ Untergruppen von $G$ mit $G = \bigcup_{i=1}^{n} G_i$ (als Mengen), sodass $G \neq \bigcup_{i \neq j} G_i$ für alle $j$. Dann ist $\bigcap_{i=1}^{n} G_i$ unendlich.

Beweis. Wir zeigen per Induktion nach $k \leq n$, dass es paarweise verschiedene Indizes $i_1,\dotsc,i_k$ gibt, sodass $G_{i_1} \cap \cdots \cap G_{i_k}$ unendlich ist; der Fall $k=n$ liefert dann die Behauptung. Der Fall $k=1$ ergibt sich daraus, dass mit $G$ natürlich auch mindestens ein $G_i$ unendlich ist. Nun sei $k < n$ und die Behauptung sei für $k$ bewiesen. Wegen der Annahme im Lemma gilt $G \neq G_{i_1} \cup \cdots \cup G_{i_k}$. Wähle ein Element $b \in G$ mit $b \notin G_{i_1} \cup \cdots \cup G_{i_k}$. Für jedes Element $a$ der unendlichen Gruppe $G_{i_1} \cap \cdots \cap G_{i_k}$ gilt $a b \notin G_{i_1} \cup \cdots \cup G_{i_k}$. Also gibt es ein $i_{k+1} \neq i_1,\dotsc,i_k$ mit $ab \in G_{i_{k+1}}$. Es muss einen solchen Index $i_{k+1}$ geben, sodass die Menge $S := \{a \in G_{i_1} \cap \cdots \cap G_{i_k} : ab \in G_{i_{k+1}}\}$ unendlich ist. Für alle $a,a' \in S$ gilt dann $a a'^{-1} = (a b) (a' b)^{-1} \in G_{i_{k+1}}$ und andererseits auch $a a'^{-1} \in G_{i_1} \cap \cdots \cap G_{i_k}$. Daher ist $S S^{-1} \subseteq G_{i_1} \cap \cdots \cap G_{i_k} \cap G_{i_{k+1}}$ unendlich. $\checkmark$

LemmaSei $L$ ein Körper. Dann kann $L$ nicht als Vereinigung von endlich vielen echten Teilkörpern geschrieben werden.

Beweis. Sei $L=L_1 \cup \cdots \cup L_n$ mit echten Teilkörpern $L_1,\dotsc,L_n$. Wenn $L$ endlich ist, dann ist $L^{\times}$ zyklisch, und der Erzeuger liegt in einem $L_i$, sodass wir direkt $L=L_i$ sehen. Sei $L$ unendlich. Wir machen eine Induktion nach $n$, wobei die Fälle $n=0$ und $n=1$ trivial sind. Sei $n \geq 1$ und die Behauptung für $n-1$ gezeigt. Dann zeigt die Induktionsannahme $L \neq \bigcup_{i \neq j} L_i$ für alle $j$. Wenden wir auf die additiven Gruppen an, so folgt, dass der Durchschnitt $K := \bigcap_i L_i$ unendlich ist. Wir können nun $L$ als einen $K$-Vektorraum und die $L_i$ als $K$-Unterräume ansehen. Wir sind also in der Situation von und erhalten einen Widerspruch. $\checkmark$

In dem genannten Paper wird auch gezeigt, dass für Integritätsringe nicht gilt.
 
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