Bearbeiten von: Abschnitt [Änderungshistorie]
  Zeilenumbrüche automatisch mache ich selbst mit HTML    

Ich möchte eine Mail an , nachdem mein Vorschlag bearbeitet ist.
  Nachricht zur Änderung:

Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
[Link zurück zum Artikelabschnitt]

Vorschau:
Normale Erweiterungen

Normale Erweiterungen

Eine Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $X$ nennen wir transitiv, wenn $X$ nicht-leer ist und es für alle $x,y \in X$ ein $g \in G$ gibt mit $y = gx$.

Darauf aufbauend nennen wir eine algebraische Erweiterung $L/K$ normal, wenn die natürliche (Rechts-)Wirkung von $\mathrm{Aut}_K(L)$ auf $\mathrm{Hom}_K(L,\overline{K})$ transitiv ist. Das bedeutet: Für je zwei $K$-Homomorphismen $\alpha,\beta : L \longrightarrow \overline{K}$ gibt es einen $K$-Automorphismus $\gamma : L \longrightarrow L$ mit $\beta = \alpha \circ \gamma$. Hierbei ist $\gamma$ eindeutig, weil $\alpha$ injektiv ist. Wenn wir also einen $K$-Homomorphismus $\alpha : L \longrightarrow \overline{K}$ festhalten, so bedeutet diese Eigenschaft, dass die von $\alpha$ induzierte Abbildung

$\mathrm{Aut}_K(L) = \mathrm{Hom}_K(L,L) \longrightarrow \mathrm{Hom}_K(L,\overline{K}),\, \gamma \mapsto \alpha \circ \gamma$

bijektiv ist.

LemmaSeien $L/E/K$ zwei algebraische Erweiterungen. Sei $L/K$ normal. Dann ist auch $L/E$ normal.

Beweis. Seien $\alpha,\beta : L \longrightarrow \overline{E} = \overline{K}$ zwei $E$-Homomorphismen. Weil $L/K$ normal ist, gibt es ein $\gamma \in \mathrm{Aut}_K(L)$ mit $\beta = \alpha \circ \gamma$. Weil $\alpha$ injektiv und $\beta,\alpha$ beides $E$-Homomorphismen sind, folgt leicht, dass auch $\gamma$ ein $E$-Homomorphismus ist. $\checkmark$

Für jede Erweiterung $L/K$ wirkt die Gruppe $\mathrm{Aut}_K(L)$ auf $L$ und es gilt $K \subseteq L^{\mathrm{Aut}_K(L)}$. Tatsächlich gilt:

SatzSei $L/K$ eine normale separable Erweiterung. Dann gilt $K = L^{\mathrm{Aut}_K(L)}$.

Beweis. Wir wählen einen festen $K$-Homomorphismus $\alpha : L \longrightarrow \overline{K}$. Sei $a \in L^{\mathrm{Aut}_K(L)}$, das heißt $\gamma(a)=a$ für alle $\gamma \in \mathrm{Aut}_K(L)$. Für beliebige $ \beta : L \longrightarrow \overline{K}$ gibt es ein $\gamma : L \longrightarrow L$ mit $\beta = \alpha \circ \gamma$. Es folgt $\beta(a)=\alpha(\gamma(a))=\alpha(a)$. Dieser Wert hängt nicht von $\beta$ ab. Also zeigt gerade $a \in K$. $\checkmark$

KorollarSei $L/K$ eine normale separable Erweiterung und $E$ ein Zwischenkörper von $L/K$. Dann ist $E = L^{\mathrm{Aut}_E(L)}$.

Beweis. Dies folgt sofort aus und . $\checkmark$

Wir beenden diesen Abschnitt der Vollständigkeit halber mit einer nützlichen Charakterisierung von normalen Erweiterungen.

LemmaSei $L/K$ algebraisch. Wähle einen $K$-Homomorphismus $\alpha : L \longrightarrow \overline{K}$. Genau dann ist $L/K$ normal, wenn für jedes $a \in L$ die Nullstellen des Minimalpolynoms von $a$ in $\overline{K}$ im Bild von $\alpha$ liegen. Wenn $L=K(A)$ für eine Teilmenge $A \subseteq L$, so reicht es zudem, diese Bedingung für die Erzeuger $a \in A$ zu fordern.

Beweis. $\Longrightarrow$: Sei $L/K$ normal und $a \in L$. Sei $b \in \overline{K}$ eine Nullstelle des Minimalpolynoms von $a$. und liefern einen $K$-Homomorphismus $L \longrightarrow \overline{K}$ mit $a \mapsto b$. Weil $L/K$ normal ist, faktorisiert dieser über $\alpha$, womit insbesondere $b$ im Bild von $\alpha$ liegt. $\Longleftarrow$: Sei $L=K(A)$ und die Bedingung mit den Nullstellen sei für alle $a \in A$ erfüllt. Sei $\beta: L \longrightarrow \overline{K}$ ein $K$-Homomorphismus. Für $a \in A$ ist $\beta(a) \in \overline{K}$ eine Nullstelle des Minimalpolynoms von $a$ (siehe Beweis von ). Nach Annahme ist daher $\beta(a) \in \mathrm{im}(\alpha)$. Wegen $L=K(A)$ folgt daraus $\mathrm{im}(\beta) \subseteq \mathrm{im}(\alpha)$. Weil $\alpha$ injektiv ist, gibt es daher einen $K$-Homomorphismus $\gamma : L \longrightarrow L$ mit $\beta = \alpha \circ \gamma$. Also ist $L/K$ normal. $\checkmark$
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]