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Mathematik: Über die elementaren Wachstumsmodelle
Freigegeben von matroid am Mo. 18. Februar 2019 19:11:22
Verfasst von Diophant - (179 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
§1. Einleitung

Dieser Artikel richtet sich hauptsächlich an Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Vorbereitung auf das Abitur. Es wird aus diesem Grunde versucht, die vorgetragenen Sachverhalte möglichst anschaulich darzustellen, auf akademische Strenge wird aus dem gleichen Grund verzichtet.

Die Beschäftigung mit Wachstums- bzw. Zerfallsvorgängen stellt einen der am häufigsten gewählten Anwendungsbereiche der Analysis für Prüfungsaufgaben im Rahmen deutscher Abiturprüfungen dar.

Bei der Bearbeitung von Aufgaben zu diesem Thema haben wir es in erster Linie mit zwei Problemen zu tun. Zum einen fällt das Erkennen der Art des Wachstums- bzw. des Zerfallsprozesses aus der Beschreibung eines Vorgangs heraus oftmals schwer, zum anderen ist auch der Zusammenhang zwischen Wachstumsvorgang und der entsprechenden Funktionsgleichung weit weniger ersichtlich als beispielsweise bei der Anwendung der Parabelgleichung für den schiefen Wurf oder der Sinus- bzw. der Kosinusfunktion zur Beschreibung harmonischer Schwingungsvorgänge. Dies gilt insbesondere für das beschränkte und in noch stärkerem Maße für das logistische Wachstum. Um hier Abhilfe zu schaffen, rückt ein Instrument der Analysis in den Blickpunkt, welches im Rahmen der Schulmathematik erfahrungsgemäß viel zu kurz kommt: Die Differentialgleichung.

In diesem Artikel sollen vier elementare Wachstumsmodelle vorgestellt werden:
  • Lineares Wachstum
  • Exponentielles Wachstum
  • Beschränktes Wachstum
  • Logistisches Wachstum
\(\endgroup\)
mehr... | 33145 Bytes mehr | 3 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


buhs Montagsreport: DNNER*: Kann es so werden?
Freigegeben von matroid am Mo. 04. Februar 2019 00:02:37
Verfasst von buh - (159 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
DNNER*: Kann es so werden?

Sooo! wird es sein. Oder anders.

 
Zinbiel. Erwartungsvoll stehen die Witten, Chatten und Solingen, sogar einige der ausgestorbenen Skripten vor der Tür des MM**.  
Und es geschieht kein Wunder. Kein Le tritt aus der Tür, kein papyrusbeladenes Rhind erscheint, selbst der Tunneler des V31 und Bezwinger des Dimensionsloches Leonardo ver Wuenschmi weiß nicht, woher die Weissagung für das neue Jahr kommen könnte.
Hilflos schweigen die Völker der Rückseite.
Bis…

\(\endgroup\)
mehr... | 6625 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


Matheplanet-Award: Verleihung der 17. Matheplanet-Mitglieder-Awards
Freigegeben von matroid am So. 27. Januar 2019 15:00:01
Verfasst von matroid - (1041 x gelesen)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}} \)

Verleihung
der 17. Matheplanet-Mitglieder-Awards

27. Januar 2019
\(\endgroup\)
mehr... | 114003 Bytes mehr | 21 Kommentare | Druckbare Version  | Matheplanet-Award


buhs Montagsreport: Statist®i©k - Wer braucht denn noch ein Buch?
Freigegeben von matroid am Mo. 21. Januar 2019 00:00:04
Verfasst von buh - (363 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Statistik-Logo für buhs Montagsreport
Statist®i©k

Wer braucht denn noch ein Buch?



Berlin. Nicht einmal 1% des Jahres ist verflossen, da muss matroid schon die aktuelle Umfrage canceln, schon nach knapp 4 Monaten Laufzeit*.

  • Zu viele Voter?
  • Unerwünschte Ergebnisse?
  • DSGVO?

    Mitnichten: Der nach Corporate Design zweite Versuch, der Mathematik/dem Planeten ein eigenes** Gesicht zu geben, fand schlicht \(\endgroup\)
  • mehr... | 3340 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


    Stern Mathematik: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
    Freigegeben von matroid am Do. 21. August 2014 21:44:28
    Verfasst von Dune - (1663 x gelesen)
    Mathematik  \(\begingroup\)

    Das Erweiterungsproblem von Gruppen

    Eines der grundlegendsten Paradigmen der Gruppentheorie besteht darin, eine Gruppe <math>G</math> mit gegebenem Normalteiler <math>N</math> zu untersuchen, indem man die Gruppen <math>N</math> und <math>G/N</math> separat betrachtet, um von ihren Eigenschaften wiederum Rückschlüsse auf die Struktur von <math>G</math> zu ziehen. Für viele Fragestellungen funktioniert dieses Vorgehen wunderbar. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass <math>G</math> auflösbar ist, indem man die Auflösbarkeit von <math>N</math> und <math>G/N</math> beweist. Es ist daher eine naheliegende Frage, wie viel wir wirklich über <math>G</math> aussagen können, wenn wir <math>N</math> und <math>G/N</math> ganz genau kennen.

    Es ist keineswegs so, dass <math>G</math> durch <math>N</math> und <math>G/N</math> eindeutig bestimmt ist. Im Allgemeinen gibt es für vorgegebene Gruppen <math>N</math> und <math>Q</math> viele Gruppen <math>G</math>, die einen zu <math>N</math> isomorphen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient isomorph zu <math>Q</math> ist - allen voran das direkte Produkt <math>N \times Q</math>. Man spricht bei solchen Gruppen von Erweiterungen von <math>Q</math> um <math>N</math>. Die Klassifikation aller Erweiterungen (für spezielle Arten von Gruppen <math>N</math> und <math>Q</math>) ist bis heute Gegenstand aktiver Forschung.

    In diesem Artikel möchte ich eine wohlbekannte Charakterisierung aller Erweiterungen einer Gruppe <math>Q</math> um eine abelsche Gruppe <math>N</math> vorstellen und anschließend zeigen, wie sich der Satz von Schur-Zassenhaus als einfache Folgerung daraus ergibt. Dieser Satz besagt, dass jeder Hall-Normalteiler einer endlichen Gruppe ein Komplement besitzt.
    \(\endgroup\)
    mehr... | 43567 Bytes mehr | 9 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


    Physik: MontyPythagoras Wunderbare Welt Der Schwerkraft
    Freigegeben von matroid am Sa. 19. Januar 2019 23:47:20
    Verfasst von MontyPythagoras - (417 x gelesen)
    Physik  \(\begingroup\)
    And now for something completely differential

    S


    chwerkraft ist wohl die erste Kraft, mit der jeder Mensch in seinem Leben Erfahrungen macht. Meistens negative, nämlich bei seinen ersten Versuchen, ihr zu trotzen und aufrecht zu gehen, wie es sich für einen Homo sapiens gehört. Trotzdem hat es sehr lange gebraucht, bis die dahinter stehenden, mathematischen Gesetzmäßigkeiten erkannt wurden, und zwar durch den oben etwas gestresst wirkenden Sir Isaac Neutonne in seiner berühmten, 1687 erschienenen Schrift Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Übrigens nicht in der heute gebräuchlichen, expliziten Formel, die entstand erst fast 200 Jahre später. Ein Apfel soll bei der Entdeckung auch eine entscheidende Rolle gespielt haben, aber das ist wohl nur Mythos.
    Während wohl jeder wissenschaftsaffine Mensch die berühmte Formel kennt (vielleicht die zweitberühmteste nach $E=mc^2$), möchte ich in diesem Artikel aus meiner Reihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" einige sich daraus ergebende Schlussfolgerungen zum Besten geben, die offenkundig weniger bekannt sind.
    Gleichzeitig ist der Artikel auch zu einer kleinen Hommage an die berühmte und für mich namensstiftende Komikertruppe geworden. \(\endgroup\)
    mehr... | 28750 Bytes mehr | 5 Kommentare | Druckbare Version  | Physik


    buhs Montagsreport: Der Letzte Letzteste Report
    Freigegeben von matroid am Mo. 10. Dezember 2018 21:49:53
    Verfasst von buh - (324 x gelesen)
    Bildung  \(\begingroup\)
    Reverses Urlogo für buhs Montagsreport
    Der Letzte Letzteste Report

    WIR hören auf…
     

    Zinbiel: Sense. Alles. Alles Sense. Raus, weg vorbei. Nur noch schnell resümieren, und dann – nach mir die Sündflut.
    Doch halt! Ein Raunen, ein Säuseln, ein moltopianistissimoFlüstern. Und wir hören auf.
    .. Auf das Flüstern.
    Immer am Jahresende, wenn das K.Mehl@buhnet.com seinen Rechen spendet, wenn schneebedeckte Lastkraftwagen gen Schalke ziehen und Veganer ihren Hahn* dem Klempner zur Pflege geben, wenn Glühweinschwaden gen Bratwurst** zieh’n, dann wird abgerechnet: Was war, was ist, doch nie: Was wird sein? Das bleibt allein dem Le im neuen Jahr vorbehalten, sofern sich die Zeit aus dem MM befreien kann.
    Und weil es immer schon so war, ist es auch diesjährig so, dass  buhs Montagsreport korrekt bilanziert:
    \(\endgroup\)
    mehr... | 7504 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | buhs Montagsreport


    Mathematik: Der Preis der Freiheit
    Freigegeben von matroid am Sa. 06. Oktober 2018 09:22:28
    Verfasst von AnnaKath - (649 x gelesen)
    Vermischtes  \(\begingroup\)

    Der Preis der Freiheit

    - Selfish Routing -

    Dieser Artikel beschäftigt sich in seinem (überschaubaren) mathematischen Kern mit einem kleinen Satz, der die Ineffizienz eines so genannten "selfish routing algorithm" beschränkt. Es ist aber auch ein Ziel, diese Aussage etwas weiter zu interpretieren und darzulegen, wie man von ganz anderen Fragestellungen motiviert, auf dieses Resultat stoßen kann.

    Dies ist eines der Dinge, die ich an der Mathematik so mag; durch die hohe Abstraktion und  präzise Fassung von Begriffen tun sich gelegentlich ungeahnte Anwendungen auf. Auch dies soll der Artikel exemplarisch veranschaulichen. Natürlich mag auch die rein mathematische Aussage interessant sein und wer sich nur dafür interessiert möge die weiteren Ausführungen ignorieren. Um dies zu erleichtern sind die zu überschlagenden Textteile durch einen $\bigstar$ markiert und sogar durch $\bigstar\bigstar$, wenn es sich um eine rein persönliche Bemerkungen handelt.

    Zum Titel: Der übliche englische Begriff für das zu Behandelnde lautet "price of anarchy". Auch eine direkte Übersetzung gäbe durchaus wieder, worum es dabei geht, entspricht aber nicht der (persönlichen) Motivation.

    Und eine letzte Anmerkung vorweg: Ich schreibe diesen Artikel aus Sicht einer Volkswirtschaftlerin. Diese Disziplin nannte man früher "politische Ökonomie" und so lässt es sich nicht vermeiden, dass man die ein oder andere Aussage eben "politisch" deuten kann.
    Dies ist ausdrücklich nicht meine Absicht und wäre eine vorsätzliche Missinterpretation. Leser, die sich in Gefahr sehen, mögen bitte die mit $\bigstar$ markierten Passagen übergehen. \(\endgroup\)
    mehr... | 33013 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


    Werkzeuge: Spielkarten mit LaTeX
    Freigegeben von matroid am Mi. 26. September 2018 12:30:14
    Verfasst von cis - (483 x gelesen)
    Tools  \(\begingroup\)
    Spielkarten mit LaTeX

    Testbericht zum Paket pst-poker.sty

    Bild

    Seit 2008 fand man nur ein leicht fehlerhaftes Paket poker.sty des Autors Olaf Encke, der es auf seiner Privathomepage hochgeladen hatte.

    Nach langer Zeit einmal wieder über das Thema nachgedacht...

    Nun hat das weltbekannte LaTeX-Urgestein Herbert Voß als Überarbeitung von o.g. Paket das brandneue (3. August 2018) Paket pst-poker (CTAN) nachgereicht.
    \(\endgroup\)
    mehr... | 7100 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  | Werkzeuge


    [Weitere 8 Artikel] [Eine Auswahl von 'Best-Of'-Artikeln]
     

      
    Buchbesprechung

    Hemme, Heinrich
    Das große Buch der Paradoxien
    Rezensiert von Gerhardus:
    Herbert Meschkowski hielt Paradoxien für wichtige Bildungselemente, er zitierte Kierkegaard: „Das Paradoxe ist das eigentliche Pathos des geistigen Lebens.“ und folgte Dürrenmatt: „Wenn Dürrenmatt recht hat mit seiner These, dass im Paradoxen die Wirklichkeit erscheint, ... [mehr...]
    : Hilbert Hotel :: Humor :: Paradoxien :
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    Osterei
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