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Mathematik: Berechnung der Zahl π mit einfachen Mitteln
Freigegeben von matroid am Fr. 12. Juli 2019 11:54:30
Verfasst von trunx - (213 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Die Zahl \(\pi\) ist genau genommen eine Naturkonstante. Es ist sehr beeindruckend, dass man diese Naturkonstante berechnen kann, dass also das Denken etwas mit der Realität zu tun hat und nicht gänzlich auf sich selbst gerichtet ist. Die moderne Physik stellt weitere Naturkonstanten zur Verfügung, wie z.B. die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante \(\alpha\), hier bemühen sich Mathematiker bzw. theoretische Physiker ebenfalls eine schlüssige Berechnung ohne Zuhilfenahme von Messergebnissen zu finden.

Für die Zahl \(\pi\) gibt es mittlerweile eine Vielzahl von mehr oder weniger schweren Berechnungsmethoden. Hier soll eine besonders leichte vorgestellt werden.

Ausgangspunkt der Berechnung ist die Idee, den Flächeninhalt des Einheitskreises (bzw. eines Viertels davon) mittels Riemannscher Summe und nachfolgender Grenzwertbildung zu ermitteln. Diesen Ansatz habe ich mit einem interessierten Schüler der Klasse 9 diskutiert, ihn auch ermutigt, die Rechnung zu Ende zu führen, wozu es leider nicht gekommen ist. Dennoch ist der Artikel so geschrieben, dass er für interessierte Schüler verständlich ist.

Wer möchte, bricht an dieser Stelle mit der Lektüre ab und probiert es gern selbst. Das Ergebnis ist zunächst eine sublinear, also langsam konvergierende Reihe, die man aber umformen kann in eine linear konvergente Reihe (mittels Konvergenzbeschleunigung, die ebenfalls vorgestellt wird). \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Senioren – die alten Säcke des MP?
Freigegeben von matroid am Mo. 17. Juni 2019 00:00:01
Verfasst von buh - (666 x gelesen)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Senioren – die alten Säcke des MP?

Seit wann ist…


Berlin/Solingen*. Seit Erfindung der nötigen Software werden User von Foren klassifiziert/qualifiziert/diskreditiert**: Um den Wert einer Antwort erkennbar zu machen, um Rechte zu vergeben und Verdienste zu würdigen oder auch, um den Hilflosen, die da fragen, das Gefühl einer kompetenzbasierten Antwort zu vermitteln. Die dabei verwendeten Differenzierungen reichen von zwei- bis hin zu zehnstufigen Skalen***.
Der Matheplanet verwendet im Forum eine 4–Stufen-Differenzierung, die von „neu“ über „aktiv“ (mit Relativierungen wie ehemals und wenig) und „Junior“ bis zum „Senior“**** reicht.
In diesem MR beschränke ich mich auf eine Antwort auf Bernhards Kleine Anfrage, die sich eben ab und zu stellt:

Seit wann ist [hier klicken und Namen einsetzen] denn Senior?
\(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Freigegeben von matroid am Sa. 06. März 2010 00:35:51
Verfasst von Florian - (16955 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)

Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?

Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen.

Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat.

Viel Vergnügen.
\(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Gibt es ein Schiez?
Freigegeben von matroid am Mo. 20. Mai 2019 21:27:38
Verfasst von Leonardo_ver_Wuenschmi - (256 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Reverses Urlogo für buhs Montagsreport
Gibt es ein Schiez?

Eine Legende der Rückseite


Zinbiel: Die Tiere der Rückseite sind vielgestaltig, ihr Wirken nicht immer erklärbar. Im weisen Haus lebt bis zum heutigen Tag das Zweifell, und so manch Einfelltiger musste erkennen, dass das Zweifell das Richtige mit den richtigen Fragen richten konnte.
Die Rehe sind ausgestorben, aber es geht das Gerücht, dass man in den Tälern des
Nalytischen Gebirges, speziell der Proximaten, noch vereinzelt Exemplare des Schiez’ antreffen könne.
\(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Offene Worte zur Berlin-Petition*
Freigegeben von matroid am Di. 07. Mai 2019 21:19:09
Verfasst von buh - (665 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Xtra-Logo für buhs Montagsreport
Offene Worte zur Berlin-Petition*

Bildung ist ein hohes Gut




Liebe Jasmin D.**,

nachdem ich meinen Montagsreport zum diesjährigen Berliner LK-Mathe-Abitur geschrieben und veröffentlicht hatte, fand ich Deine Petition*, die sich ja mit demselben Thema, allerdings unter ganz anderem Gesichtspunkt, befasst.
Über deine erste Behauptung, den Schwierigkeitsgrad betreffend, kann man durchaus nachdenken; eine erhebliche Textlastigkeit und verwirrende bis hin zu irreführenden Formulierungen habe auch ich moniert.

Den Rest und deine Schlussfolgerung, die Bewertung müsse „hochgesetzt“ werden, versteh ich allerdings überhaupt nicht.

\(\endgroup\)
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Mathematik: Phantasialand adé
Freigegeben von matroid am Mo. 06. Mai 2019 06:10:57
Verfasst von buh - (409 x gelesen)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Phantasialand adé

Nie wieder Pyramiden in Raumecke*


BerlinBrandenburg. Es ist vollbracht. Mathe-Abitur. Nur 300 Minuten, davon 75 hilfsmittelfreie, und schon war die Mathe-LK-Prüfung wieder vorbei.
Und während früher so erhellende Titel wie „Handy am Steuer“, „Haus am Hang“ oder „Hosentasche“ ein (müdes) Lächeln ins Gesicht der Prüflinge zauberten, hat die revolutionäre Aufgabenerfindergarde wohl keine Kraft mehr: Im hilfsmittelfreien Teil 1 heißen die Aufgaben
\(\endgroup\)
mehr... | 2825 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 2/2)
Freigegeben von matroid am Sa. 27. April 2019 20:49:33
Verfasst von Dune - (208 x gelesen)
Mathematik  \(\begingroup\)
Wir befinden uns nach wie vor auf der Suche nach der dreifachen Überlagerung $3.A_7$ von $A_7$, einer einzigartigen endlichen Gruppe, deren Existenz ein bloßer kombinatorischer Zufall zu sein scheint. Unser selbstgestecktes Ziel ist aber nicht nur ein bloßer Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis: Wir wollen die $3.A_7$ zudem als Matrixgruppe kleinstmöglicher Dimension darstellen! Im ersten Teil hatten wir bereits gezeigt, dass über Körpern der Charakteristik Null mindestens sechs Dimensionen nötig sind. Wir werden zeigen, dass selbiges auch für sämtliche Körper positiver Charakteristik $p \neq 5$ gilt (Satz 1). Der Hauptfokus dieses Artikels wird auf der Bestimmung der modularen Charaktertafel von $3.A_7$ in Charakteristik $p=5$ liegen, wofür wir verschiedene Methoden aus der modularen Darstellungstheorie (Brauer-Swan-Theorie, Blocktheorie, Green-Korrespondenz) kombinieren werden. Wir werden schließlich erkennen, dass die Gruppe genau ein Paar algebraisch konjugierter irreduzibler Brauer-Charaktere vom Grad 3 besitzt, zu welchem wiederum ein Paar algebraisch konjugierter Darstellungen $3.A_7 \to \mathrm{GL}(3,\mathbb{F}_{25})$ gehört. Die Suche nach einer dieser Darstellungen erfolgt dann mit ganz elementaren Methoden: Im Wesentlichen müssen eine Hand voll (zumeist lineare) Gleichungssysteme über dem Körper $\mathbb{F}_{25}$ gelöst werden. Aus deren eindeutiger Lösbarkeit folgt dann unmittelbar die Eindeutigkeit der Gruppe $3.A_7$ (Satz 2). Der Existenzbeweis der $3.A_7$ ist schlussendlich mit etwas Computerunterstützung kein Problem mehr (Satz 3). \(\endgroup\)
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Mathematik: Lösen von Job Shop Problemen
Freigegeben von matroid am Fr. 26. April 2019 08:48:04
Verfasst von Delastelle - (139 x gelesen)
Software  \(\begingroup\)
Eine Problemstellung der diskreten Optimierung sind Job Shop Probleme.
Im Artikel werden mehrere Programme vorgestellt, die gute Lösungen erzeugen.
Gelöst wird unter anderem das klassische Muth-Thompson 10x10 Problem (mt10) von 1963
dessen Lösung 930 erst 1989 mittels Branch & Bound verifiziert wurde. \(\endgroup\)
mehr... | 13177 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  | Mathematik


Mathematik: Der Problemmond - eine fiktive Geschichte zur Geschichte unseres Weltbildes
Freigegeben von matroid am Mo. 22. April 2019 18:03:53
Verfasst von trunx - (371 x gelesen)
Physik  \(\begingroup\)

Einleitung


Immer wieder ist zu hören und zu lesen und wird gern auch in der Schule so vermittelt, dass sich die Menschen in der Antike und im (finsteren) Mittelalter unsere Erde als Scheibe vorstellten. Dies ist natürlich längst als neuzeitlicher Mythos entlarvt (siehe Wikipedia - Flache Erde), dennoch möchte ich mit dem vorliegenden Artikel zeigen, dass sich die Kugelgestalt der Erde ganz logisch aus den antiken Vorstellungen, insbesondere der 4-Elemente-Lehre ergab, also die angebliche Scheibenerde schon in der Antike Humbug war.

Doch dieses antike, genau genommen geozentrische Weltbild hatte auch seine Probleme. Da ich kein Historiker bin und nicht aus eigener Lektüre weiß, was antike bzw. mittelalterliche Autoren über die Probleme mit ihrem Weltbild geschrieben haben, tue ich dies hier fiktiv.

Demnach müsste das Hauptproblem des antiken Weltbildes unser Mond gewesen sein.

Dieser Artikel wurde für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 8 bzw. 9 geschrieben, wird aber natürlich häppchenweise präsentiert, mit Arbeitsblättern und Experimenten zum freien Fall und Wurf verknüpft, ist also eher das Resultat je einer Unterrichtseinheit. Hier ist er für den MP aufgearbeitet, wo ihn selbstverständlich jeder lesen kann. \(\endgroup\)
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