Das Erweiterungsproblem von Gruppen

Eines der grundlegendsten Paradigmen der Gruppentheorie besteht darin, eine Gruppe $G$ mit gegebenem Normalteiler $N$ zu untersuchen, indem man die Gruppen $N$ und $G/N$ separat betrachtet, um von ihren Eigenschaften wiederum Rückschlüsse auf die Struktur von $G$ zu ziehen. Für viele Fragestellungen funktioniert dieses Vorgehen wunderbar. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass $G$ auflösbar ist, indem man die Auflösbarkeit von $N$ und $G/N$ beweist. Es ist daher eine naheliegende Frage, wie viel wir wirklich über $G$ aussagen können, wenn wir $N$ und $G/N$ ganz genau kennen. Es ist keineswegs so, dass $G$ durch $N$ und $G/N$ eindeutig bestimmt ist. Im Allgemeinen gibt es für vorgegebene Gruppen $N$ und $Q$ viele Gruppen $G$, die einen zu $N$ isomorphen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient isomorph zu $Q$ ist - allen voran das direkte Produkt $N\; \backslash times\; Q$. Man spricht bei solchen Gruppen von Erweiterungen von $Q$ um $N$. Die Klassifikation aller Erweiterungen (für spezielle Arten von Gruppen $N$ und $Q$) ist bis heute Gegenstand aktiver Forschung. In diesem Artikel möchte ich eine wohlbekannte Charakterisierung aller Erweiterungen einer Gruppe $Q$ um eine abelsche Gruppe $N$ vorstellen und anschließend zeigen, wie sich der Satz von Schur-Zassenhaus als einfache Folgerung daraus ergibt. Dieser Satz besagt, dass jeder Hall-Normalteiler einer endlichen Gruppe ein Komplement besitzt.