Typische Beweismotive

Dies ist die Fortsetzung des Artikels Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann. Dort ging es um einfache Beweise, die sich schon alleine durch eine gute "Buchführung" der Definitionen, Voraussetzungen und Behauptungen hinschreiben lassen. In diesem Teil soll es nun um Beweise gehen, wo mehr Kreativität benötigt wird. Dazu stelle ich einige Beweismotive vor und illustriere sie wieder mit zahlreichen Beispielen. Es geht hierbei um keine konkreten Beweistechniken wie Induktion, Widerspruchsbeweis und dergleichen, wozu es schon sehr viel Material gibt, sondern um viel grundsätzlichere Denkweisen, die einem dabei helfen, einen Beweis zu finden.

Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen

Matrizen lernt man in Vorlesungen zur linearen Algebra üblicherweise als "rechteckige Zahlenschemata" kennen. In diesem Artikel werden Matrizen hingegen ausgehend von der Bestimmung der linearen Abbildungen zwischen direkten Summen von Vektorräumen hergeleitet. Die Matrixmultiplikation entsteht in diesem Kontext aus der Komposition von linearen Abbildungen. Damit bekommt man ein gutes Verständnis dafür, was Matrizen und die Matrixmultiplikation eigentlich sind, wobei hier sogar Blockmatrizen inbegriffen sind. Dieser Artikel setzt lediglich Vektorräume, Basen und lineare Abbildungen als bekannt voraus, richtet sich also insbesondere an interessierte Studienanfänger*innen.

Hüllenoperatoren

Mit Hüllenoperatoren lassen sich verschiedene Begriffe von Erzeugendensystemen (erzeugte Untergruppe, erzeugte $\sigma$-Algebra, konvexe Hülle, erzeugte Topologie, uvm.) und entsprechender abgeschlossener Mengen vereinheitlichen. Wir schauen uns auch die Rekursion an, welche die erzeugte Struktur schrittweise erzeugt. Bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit wie zum Beispiel $\sigma$-Algebren ist sogar eine transfinite Rekursion nötig.