Forum:  Maßtheorie
Thema: Bestimmung des Jordan-Inhaltes
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Themenstart: 2021-05-17 17:55

Hallo Zusammen

Ich stehe bei folgender Aufgabe ein wenig an:

Zeigen Sie dass die folgende Menge den Jordan-Inhalt Null hat:
a) der graph einer beschränkten und integrierbaren Funktion \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\), genauer gesagt die Menge \(D=\{(x,f(x)|x \in [a,b]\}\).

Na gut also ich kann mir ja das in \(\mathbb{R}^2\) zeichnen und da f ja beschränkt ist, \(\exists \,\,\xi\) so dass \(|f(x)|\leq \xi\). Nun muss ich ja zeigen dass der Jordaninhalt 0 ist, das heisst dass D quadrierbar ist und dass die Fläche 0 ist.
Ich habe mir gedacht, dass ich die Quadrierbarkeit ja direkt folgern kann da f integrierbar ist, denn dann ist ja für die Ober und Untersumme, dass \(lim_{k\rightarrow \infty} D^{(k)}(f)=lim_{k\rightarrow \infty} D_{k}(f)\) wobei \(D^{(k)}\) die Obersumme darstellt und \(D_k\) die Untersumme. Und das heisst ja dass \(m(\Delta(D)_{(k)}) \rightarrow 0\) wobei \(\Delta(D)_{(k)}\) die "Randmenge" bezeichnet also eigentlich die Differenz zwischen der Obersumme und der Untersumme im zweidimensionalen Fall. Aus der Vorlesung wissen wir dass wenn \(m(\Delta(D)_{(k)}) \rightarrow 0\) dass ist D quadrierbar.
Stimmt das so bis hierhin?

Nun noch zum zweiten Punkt: ich verstehe nicht ganz was Fläche 0 heissen soll. Also wir haben uns den Inneren und Äusseren Jordaninhalt definiert als \(m_{-}(D)=lim_{k \rightarrow \infty}m(A_{(k)})\) und \(m_{+}(D)=lim_{k \rightarrow \infty}m(A^{(k)})\). Und wenn D quadrierbar ist dann gilt \(m(A)=m_{-}(D)=m_{+}(D)\) und wir sagen dem den Jordaninhalt von D. Aber wenn dieser 0 ist heisst das doch, dass sowohl der Innere als auch der Äussere Inhalt null sein muss. Aber wenn ich mir das geometrisch vorstelle dann würde das doch heissen, dass eis keine Zelle gibt die nur in der Menge liegt ohne den Rand zu berühren und dass es auch keine gibt die Ausserhalb liegt, also dass die Menge genau approximiert werden kann durch Zellen. Habe ich das richtig verstanden?

Wenn ja wie kann ich dann nun zeigen dass dieser Inhalt 0 ist, da sehe ich nicht wirklich einen Weg.

Vielen Dank für eure Hilfe!




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Druckdatum: 2021-07-30 11:25