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Strukturen und Algebra » Moduln » Wie viele Untermodule einer Isomorphieklasse?
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Universität/Hochschule Wie viele Untermodule einer Isomorphieklasse?
kokosnusskopf
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  Themenstart: 2021-07-29

Auf die folgende Frage finde ich keine Antwort: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51557_kuwvscwdbcj.PNG Könnt ihr mir bitte helfen?


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Tipp: Sei $U \subseteq M$ ein einfacher Modul. Dann ist $U = (S \oplus T) \cap U = \dots$.\(\endgroup\)


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kokosnusskopf
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-29

\quoteon(2021-07-29 21:06 - Kezer in Beitrag No. 1) Tipp: Sei $U \subseteq M$ ein einfacher Modul. Dann ist $U = (S \oplus T) \cap U = \dots$. \quoteoff danke für den Tipp! Mir ist jetzt klar wie man die Aufgabe löst, nur verstehe ich noch nicht zu 100 Prozent, warum (S + T) geschnitten U in (S geschnitten U) + (T geschnitten U) enthalten sein muss...


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kokosnusskopf
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-29

\quoteon(2021-07-29 21:06 - Kezer in Beitrag No. 1) Tipp: Sei $U \subseteq M$ ein einfacher Modul. Dann ist $U = (S \oplus T) \cap U = \dots$. \quoteoff Kannst du mir noch verraten was hinter dem letzten Gleichheitszeichen stehen würde? Ich bin mir nicht mehr so sicher, ob das wirklich gleich (S geschnitten U) + (T geschnitten U) ist. Das kommt daher, dass das doch schon bei K-Moduln nicht gelten muss: S = span(1,0) und T = span(0,1) sind einfache R-Moduln, aber setzt man U = span(1,1), so ist (S geschnitten U) + (T geschnitten U) = 0...


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kezer
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-30

Sorry, mein Fehler. In deinem letzten Beitrag steht prinzipiell eine Lösung zur Aufgabe drin. Weißt du was ich meine?


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hippias
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-30

Sei $T'\leq_{A} M$ $A$-isomorph zu $T$. Betrachte $T+T'$...


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yann
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-07

Hallo zusammen, ich weiß nicht, ob das Thema hier schon abgehakt ist; nichtsdestotrotz antworte ich einfach mal: Sei $S^\prime\subseteq M=S\oplus T$ ein Untermodul, so dass $S^\prime\cong S$. Wenn $S^\prime\subseteq S$ gilt, sind wir wegen der Einfachheit fertig. Wir nehmen nun das Gegenteil an. Das impliziert, dass das Kompositum $S^\prime \hookrightarrow M \twoheadrightarrow T$ bestehend aus der Inklusion $S^\prime\subseteq M$ und der Projektion $m=(s,t)\mapsto t$ ein nicht-trivialer Homomorphismus ist. Schur's Lemma liefert dann $S^\prime\cong T$, was der Voraussetzung $S\ncong T$ widerspricht. In Beitrag 3 sieht man, dass die Voraussetzung $S\cong T$ die Aussage im Startbeitrag falsch machen würde. Beste Grüße yann


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