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Mathematik » Stochastik und Statistik » Neyman-Pearson für optimalen χ²-Test
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Universität/Hochschule J Neyman-Pearson für optimalen χ²-Test
mathemufflon2
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  Themenstart: 2021-10-15

Hallo zusammen, ich bin noch relativ neu im Bereich Statistik und bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aufgabe: Gegeben seien $Y_1, ..., Y_n$ iid Zufallsvariablen mit $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ Verteilung. Es sollen Hypothesentests ausgeführt werden für die Varianz $\sigma^2$: Teste $H_0 : \sigma = \sigma_0 $ vs $H_1 : \sigma > \sigma_0$, wobei $\mu$ bekannt ist. Es stehen die folgenden Tests zur Auswahl: A: Verwerfe $H_0$ falls $\frac{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \mu)^2}{\sigma_0^2} > \mathcal{X}_n^2(\alpha)$ B: Verwerfe $H_0$ falls $\frac{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \mu)^2}{\sigma_0^2} > \mathcal{X}_{n-1}^2(\alpha)$ wobei $\mathcal{X}_k^2(\alpha)$ derart gewählt ist, dass $P(\mathcal{X}_k^2>\mathcal{X}_k^2(\alpha)) = \alpha$. Aufgabe: Welcher Test ist zu bevorzugen? Die Lösung sagt mir: Beide Tests haben $size = \alpha$, aber Test A ist zu bevorzugen, da er UMP (uniformly most powerful) ist. Das Neyman-Pearson Lemma sagt, dass der optimale $size-alpha$ Test gerade Test A ist. Da er nicht vom Wert von $\sigma_1$ abhängt, ist er UMP gegen $H_1$. Da kommt ehrlich gesagt einiges zusammen, wovon ich noch nie etwas gehört habe (UMP, NP). Mein Verständnis bis hier hin: Ein UMP (oder gleichmäßig trennschärfster Test) bleibt beim Fehler 1. Art immer unter einem bestimmten Level, gleichzeitig hat er aber unter allen Level-$\alpha$-Tests immer die geringste Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art. Dass ein solcher Test immer zu bevorzugen ist, leuchtet ein. Das NP Lemma gibt nun ein Kriterium hierfür an die Hand: Hier wird der Likelihood Quotient von zwei Alternativen verglichen und geprüft, ob dieser einen gewissen Wert unterschreitet. Heißt das nun für den Fall hier, dass ich den Likelihood Quotienten der beiden $\mathcal{X}_k^2$ Verteilungen überprüfe? Sprich, wie übersetze ich mein Entscheidungsproblem in das NP-Lemma und woher weiß ich insbesondere, dass Test A ein UMP ist? Ich wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir hier einen Ansatz geben könntet, leider komme ich seit einigen Tagen bei dieser Aufgabe nicht weiter... Viele Grüße und danke für Eure Zeit!


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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-15

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) Moin, unter H$_0$ ist $\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \mu)^2}{\sigma_0^2} \sim\chi^2(n)$, so dass $P\left(\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \mu)^2}{\sigma_0^2} > \mathcal{X}_n^2(\alpha)\right)=\alpha$ und $P\left(\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \mu)^2}{\sigma_0^2} > \mathcal{X}_{n-1}^2(\alpha)\right)\ne\alpha$. vg Luis\(\endgroup\)


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mathemufflon2
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16

Hi, vielen Dank für Deine Antwort. Das ergibt Sinn, aber wo geht hier NP ein?


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luis52
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-17

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) \quoteon(2021-10-16 19:50 - mathemufflon2 in Beitrag No. 2) Das ergibt Sinn, aber wo geht hier NP ein? \quoteoff Die Frage Welcher Test ist zu bevorzugen? macht keinen Sinn, da beide Tests nicht dasselbe Signifikanzniveau haben. Das ist auch eine Voraussetzung von NP. Kann es sein, dass beim zweiten Test $\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar Y)^2}{\sigma_0^2}$ verwandt wird? vg Luis \(\endgroup\)


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mathemufflon2
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-05 07:57

Hallo Luis, Du hast vollkommen Recht - das war letztendlich auch einer der Gründe, warum ich nicht weiter kam. Entschuldige meine späte Antwort, ich hatte vollkommen vergessen, mich hier nochmal zu melden! Vielen Dank aber für den Hinweis. :)


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