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Mathematik » Stochastik und Statistik » Bedingter Erwartungswert bei gegebener Subsigma-Algebra
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Universität/Hochschule Bedingter Erwartungswert bei gegebener Subsigma-Algebra
Mathsman
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  Themenstart: 2021-10-16

Hallo an alle diesmal ein anderes Problem mit bedingten Erwartungswerten, wo ich glaub ich nicht sehr weit komme mit bedingten Dichtefunktionen. Gegeben ist ein Wahrscheinlichkeitraum mit \Omega = intervall(-1,1), A = Borel-Sigma-Algebra auf intervall(-1,1) und P (das Maß) ist eine Gleichverteilung auf intervall(-1,1). Die Subsigma-Algebra ist F = menge(a\in A| -a=a) (das heißt die Subsigma-Algebra der symmetrischen Mengen - ich nehme an zum Beispiel (-0.5,0.5)). Laut Vorlesung reicht es zum Beispiel, wenn ich ein Erzeugendensystem B_i für F finde, das gleichzeitig auch als disjunkte Vereinigung das ganze Intervall intervall(-1,1) erzeugt. Dann kann man den bedingten Erwartungswert als Summe über normale Erwartungswert berechnen. Trotzdem hab ich bis jetzt kein passendes Erzeugendensystem für F gefunden. Also glaub ich nicht, dass das so gehen kann. Was könnte ich stattdessen machen? LG Mathsman


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-16

Moin Mathsman, sei $X \in \mathcal{L}_1(\Omega,\mathcal{A},P)$. Überlege dir, wie du aus $X$ (durch geeignete Symmetrisierung) eine $\mathcal{F}$-messbare Zufallsvariable $Y$ bauen kannst, die die definierende Eigenschaft der bedingten Erwartung hat, also dass für alle $F \in \mathcal{F}$ \[\int_F Y \, dP = \int_F X \, dP\] gilt. Damit ist dann $\mathbb{E}(X|\mathcal{F}) = Y$. LG, semasch


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Mathsman
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-17

Hallo semasch, vielen Dank nochmals. Also soll man mit der Definition des bedingten Erwartungswertes arbeiten. Leider fällt mir absolut nichts ein, wie man eine Zufallsvariable symmetrisieren kann. Ich weiß ja gar nichts über $X$. Könntest du mir da bitte mehr Hilfe geben? Was mir noch ins Auge gestochen ist, dass als W-Maß die Gleichverteilung genommen wird. Heißt das, dass bei den zu berechneten Integralen von $X$ und $Y$ zuerst durch $2$ (=Länge des Intervalls) dividiert wird oder welche Bewandtnis hat das? LG Mathsman


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-17

\quoteon(2021-10-17 18:38 - Mathsman in Beitrag No. 2) Leider fällt mir absolut nichts ein, wie man eine Zufallsvariable symmetrisieren kann. Ich weiß ja gar nichts über $X$. Könntest du mir da bitte mehr Hilfe geben? \quoteoff Überlegen wir uns mal, welche Zufallsvariablen auf $(\Omega,\mathcal{A},P)$ bezüglich $\mathcal{F}$ messbar sind. Ist $Z$ so eine Zufallsvariable und $\omega \in \Omega$ beliebig, so gilt wegen $\omega \in [Z = Z(\omega)] \subseteq \mathcal{F}$ auch $-\omega \in -[Z = Z(\omega)] = [Z = Z(\omega)]$, also $Z(-\omega) = Z(\omega)$. $Z$ ist also eine gerade Funktion. Umgekehrt überlegt man sich auch leicht, dass alle als Funktionen geraden Zufallsvariablen $\mathcal{F}$-messbar sind. Versuche daher mal, aus $X$ eine Zufallsvariable $Y$ möglichst einfach so zu bauen, dass diese gerade ist (da gibts eine Standardvorgehensweise). \quoteon(2021-10-17 18:38 - Mathsman in Beitrag No. 2) Was mir noch ins Auge gestochen ist, dass als W-Maß die Gleichverteilung genommen wird. Heißt das, dass bei den zu berechneten Integralen von $X$ und $Y$ zuerst durch $2$ (=Länge des Intervalls) dividiert wird oder welche Bewandtnis hat das? \quoteoff Ja, genau, es ist ja $P = \frac{1}{2} \lambda|_{\mathcal{A}}$. LG, semasch


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Mathsman
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-17

Oke ganz einfach gedacht: Y(\omega) = cases(X(\omega),\omega\in intervall(-1,0);X(-\omega),\omega \in intervallog(0,1)) Das heißt ich nehme einen Teil von X und spiegel in einfach. Das Problem ist, dass das Integral dann ja nicht gleich ist oder? LG Mathsman


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semasch
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-17

Das so definierte $Y$ ist als Funktion zwar gerade, aber funktioniert, wie du schon festgestellt hast, nicht. Was ich gemeint habe, findet sich z.B. hier. LG, semasch Edit: $Y$ ist natürlich schon gerade, aber nicht das, was man hier braucht. Habe das entsprechend oben korrigiert.


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