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Mathematik » Geometrie » Formel für Volumen eines Torus
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Universität/Hochschule J Formel für Volumen eines Torus
haNNah99
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  Themenstart: 2022-01-14

Hallo, ich soll mithilfe des Transformationssatzes eine Formel für das Volumen eines Torus entwickeln. Zunächst hab ich versucht eine Mengenbeschreibung für den Torus zu finden: $$T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2=4R^2(x^2+y^2)\}$$ Dabei ist \(R\) der äußere Radius und \(r\) der Innere. Stimmt diese Mengenbeschreibung denn so? Nun noch zur Formel. Ich stelle mir das ganze an sich so vor, dass ich doch an sich den Torus Aufschneiden kann und dann erhalte ich doch einen Zylinder oder nicht. Dann kann ich doch die Formel einfach mit \(A\) (Fläche der Querschnitt) mal \(U\) (Umfang der Torus) bilden. $$V=A\cdot U=(\pi r^2)(2\pi R)$$ Ich kann mir jedoch nicht vorstellen, dass es so einfach geht und brauche nun Hilfe für das weitere Vorgehen. Danke schon mal im Voraus Viele Grüße Hannah


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-14

Hallo und willkommen hier im Forum! Deine Überlegung, das Volumen sozusagen aus Salami-Rädchen zusammenzusetzen, ist schon richtig (du erhältst ja auch das richtige Resultat!). Das entspräche der sog. 2. Guldinschen Regel. Die Mengenbeschreibung deines Torus ist ebenfalls richtig. Die Aufgabe ist allerdings wohl eher so gedacht, dass man die Torusfläche geeignet parametrisiert und das Volumen dann per Volumenintegral berechnet. Und dabei kommt dann eben der besagte Transformationssatz ins Spiel. Gruß, Diophant


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haNNah99
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-16

Hey Diophant, Ich hab das jetzt so gemacht, dass ich die beiden Funktionen: $$f_1(x)=R+\sqrt{r^2-x^2}\text{ und }f_2(x)=R-\sqrt{r^2-x^2}$$ Wenn ich die nun rotiere und die Integrale voneinander abziehe müsste ich doch den Torus erhalten oder? Ich bin dann auch durch Umformung der Integrale auf das richtige Ergebnis gekommen. Meinst du damit ist das dann wie in der Aufgabe gelöst? LG Hannah


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-01-16 16:54 - haNNah99 in Beitrag No. 2) Ich hab das jetzt so gemacht, dass ich die beiden Funktionen: $$f_1(x)=R+\sqrt{r^2-x^2}\text{ und }f_2(x)=R-\sqrt{r^2-x^2}$$ Wenn ich die nun rotiere und die Integrale voneinander abziehe müsste ich doch den Torus erhalten oder? Ich bin dann auch durch Umformung der Integrale auf das richtige Ergebnis gekommen. Meinst du damit ist das dann wie in der Aufgabe gelöst? \quoteoff Wenn du es per 2. Guldinscher Regel lösen möchtest, brauchst du keine Funktionen rotieren lassen. Dann reicht die Überlegung aus dem Themenstart: der Querschnitt durch den Torus ist \(\pi r^2\) und der Umfang der Mittellinie durch den Torus \(2\pi R\). Das Produkt ist das Torusvolumen. Aber wie gesagt: wozu sollte denn dann der Begriff "Transformationssatz" in der Aufgabenstellung stehen? Schaue dir einmal die Herleitung des Volumens bei Wikipedia an, dort findest du wesentliche Teile der angedachten Rechnung. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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haNNah99
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-16

Ah ich denke jetzt habe ich es verstanden. Der Spezialfall für das Volumen des Transformationssatzes ist ja, dass das Integral der Determinante der Jacobi-Matrix gleich dem Volumen ist. Das sollte ich nun hinkriegen, Danke. Da ja bei der Aufgabe offensichtlich viele Wege nach Rom führen, war ich dadurch zunächst verwirrt. Vielen Dank für deine Hilfe :) PS: Ich hoffe natürlich, dass ich das nun richtig verstanden hab und nicht wieder nen Denkfehler habe.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-16

\quoteon(2022-01-16 17:13 - haNNah99 in Beitrag No. 4) Ah ich denke jetzt habe ich es verstanden. Der Spezialfall für das Volumen des Transformationssatzes ist ja, dass das Integral der Determinante der Jacobi-Matrix gleich dem Volumen ist. \quoteoff Das ist etwas unglücklich formuliert, aber du meinst das richtige. Vermutlich wirst du die Parametrisierung und damit die Jacobi-Matrix noch irgendwie begründen müssen. Das wirst du selbst am besten wissen (es hängt davon ab, was du alles zur Verfügung hast). Gruß, Diophant


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haNNah99
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-16

Ja das mit dem Begründen etc. sollte ich hinkriegen. Danke dir für den Anstoß in die richtige Richtung.


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