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Universität/Hochschule Normen
Prinzessinaladina
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  Themenstart: 2022-06-11

Guten Abend, liebe Leute, ich habe folgendes Problem: Gegeben sind zwei beliebige Normen. Davon sei die eine Norm >0. Ich definiere nun m als das Minimum der beiden Normen und möchte zeigen, dass dieses Minimum existiert und größer als 0 ist. Darf ich für die Normen die Manhattan-Norm und die Euklidische Norm o. B. d. A. nutzen? Ich denke, ich muss mir für ein r>0 die x für die eine Norm anschauen und überlegen, wie ich von diesen x die andere Norm bilden. Die kleinste wäre dann mein Minimum. Ich finde jedoch keinen Ansatz, wie ich das stichhaltig tue, nutze und dann den beabsichtigten Beweis führe. Kann mich bitte jemand unterstützen? Ich freue mich auf eure Anregung Prinzessinaladina


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-11

Hallo Prinzessinaladina, wenn ich deine Frage richtig interpretiere ist folgendes zu untersuchen. Wenn \(\|\cdot\|_1\) und \(\|\cdot\|_2\) Normen eines Vektorraums V sind, ist dann auch \(\|\cdot\|_3\) eine Norm, wobei \(\|\cdot\|_3\) durch \(\|x\|_3=\min\{\|x\|_1,\|x\|_2\}\) definiert ist? EDIT: Das hat mit der Aufgabenstellung nichts zu tun. Siehe #11 und #12. Dich bei der Beantwortung auf zwei spezielle Normen zu beschränken, ist natürlich nicht ausreichend.


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-11

Ja, das ist offenbar die erste wichtige Schlussfolgerung: das Minimum von zwei Normen, von denen eine >0 ist, ist ebenso eine Norm, aber ich soll zeigen, dass sie größer 0 ist. Beide Normen sind auf R^d, damit müssen laut Normenäquivalenz zwei Konstanten C1 und C2 größer 0 existieren, so dass für alle x aus R^d gilt: Produkt aus C1 und Norm 1 ist kleiner oder gleich Norm 2 ist kleiner gleich Produkt aus C2 und Norm 1. Wenn aber Norm 1 >0 ist, kann Norm 2 demnach auch auch nur >0 sein (Sandwichtheorem) d.h. das Minimum ist auch >0. Sollte es so einfach sein, oder ist das mathematisch falsch oder unzureichend? Viele Grüße Prinzessinaladina


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-11

\quoteon(2022-06-11 22:21 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 2) Ja, das ist offenbar die erste wichtige Schlussfolgerung: das Minimum von zwei Normen, von denen eine >0 ist, ist ebenso eine Norm, aber ich soll zeigen, dass sie größer 0 ist. Beide Normen sind auf R^d, damit müssen laut Normenäquivalenz zwei Konstanten C1 und C2 größer 0 existieren, so dass für alle x aus R^d gilt: Produkt aus C1 und Norm 1 ist kleiner oder gleich Norm 2 ist kleiner gleich Produkt aus C2 und Norm 1. Wenn aber Norm 1 >0 ist, kann Norm 2 demnach auch auch nur >0 sein (Sandwichtheorem) d.h. das Minimum ist auch >0. Sollte es so einfach sein, oder ist das mathematisch falsch oder unzureichend? Viele Grüße Prinzessinaladina \quoteoff Ich muss aber ergänzen: ich muss nicht nur zeigen, dass diese dritte Norm >0 ist, sondern auch dass sie existiert. Bedeutet dies, ich muss die Normeigenschaften zeigen? Oder hat es etwas mit Kompaktheit und dem Satz vom Max/Min zu tun?


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thureduehrsen
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-11

Hallo Prinzessinaladina, ich weiß nicht recht, was diese Bedingung bedeuten soll: \quoteon(2022-06-11 22:21 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 2) das Minimum von zwei Normen, von denen eine >0 ist \quoteoff Normen liefern doch prinzipiell keine negativen Werte. mfg thureduehrsen


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-11

Guten Abend, eine Norm könnte ja aber auch = 0 sein, was hier aber für das Minimum der beiden Normen ausgeschlossen werden soll.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-11

\quoteon(2022-06-11 22:36 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 5) eine Norm könnte ja aber auch = 0 sein \quoteoff Aber doch nur für den Nullvektor. (Definitheit) Ab einfachsten wäre es vielleicht, wenn du die Aufgabenstellung im Wortlaut wiedergibst. \quoteon(2022-06-11 22:27 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 3) Bedeutet dies, ich muss die Normeigenschaften zeigen? Oder hat es etwas mit Kompaktheit und dem Satz vom Max/Min zu tun? \quoteoff Zum ersten: Wahrscheinlich ja. Zum zweiten und dritten: Mit ziemlicher Sicherheit nicht.


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thureduehrsen
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-11

\quoteon(2022-06-11 22:36 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 5) eine Norm könnte ja aber auch = 0 sein \quoteoff Eine Norm ist niemals die Nullabbildung, weil das z.B. der absoluten Homogenität unvereinbar ist. Gleichwohl nimmt sie für den Nullvektor den Wert 0 an! Wie lautet die Aufgabenstellung im Original? mfg thureduehrsen [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-11

Danke. Die Aufgabenstellung lautet: Seien II . II 1 und II.II 2 zwei beliebige Normen auf R^d. Begründen Sie, dass m = min{∥x∥1,∥x∥2 = r} , r>0, existiert und m>0 gilt. LG Prinzessinaladina


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thureduehrsen
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) \quoteon(2022-06-11 22:56 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 8) Danke. Die Aufgabenstellung lautet: Seien II . II 1 und II.II 2 zwei beliebige Normen auf R^d. Begründen Sie, dass m = min{∥x∥1,∥x∥2 = r} , r>0, existiert und m>0 gilt. LG Prinzessinaladina \quoteoff Das ist nicht sonderlich sinnvoll! Sowohl \(x\) als auch \(r\) sind hier freie Variablen... mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-11

aber genau so lautet die Aufgabenstellung ... wie gehe ich damit um?


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zippy
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-06-11

\quoteon(2022-06-11 23:13 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 10) aber genau so lautet die Aufgabenstellung ... wie gehe ich damit um? \quoteoff Die Aufgabenstellung hat zwar mit dem, was du im Startbeitrag geschrieben hast, wenig zu tun, aber sie ergibt Sinn: Begründen Sie, dass $m = \min\bigl\{\|x\|_1:\|x\|_2 = r\bigr\}$ für $r>0$ existiert und dass $m>0$ gilt. Und eine deiner Lösungsideen ist auch die richtige: \quoteon(2022-06-11 22:27 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 3) Oder hat es etwas mit Kompaktheit und dem Satz vom Max/Min zu tun? \quoteoff --zippy


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thureduehrsen
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) \quoteon(2022-06-11 23:13 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 10) aber genau so lautet die Aufgabenstellung ... wie gehe ich damit um? \quoteoff Ich schlage vor, dass wir die Aufgabenstellung reparieren. Sei \(d\in\mathbb{N}_{>0}\), und seien \(\|\cdot\|_1\) und \(\|\cdot\|_2\) zwei beliebige Normen auf \(\mathbb{R}^d\). Sei \(r\) eine positive reelle Zahl. Begründen Sie, dass \[ \min\{\|x\|_1\colon\, \|x\|_2 = r\} \] existiert und größer als 0 ist. So stelle ich mir eine gelungene Version der Aufgabe vor: Unter all jenen Vektoren, die gemäß \(\|\cdot\|_2\) eine vorgegebene positive Länge haben, existiert einer, dessen Länge gemäß \(\|\cdot\|_1\) minimal und ebenfalls positiv ist. Ist das eine überzeugende Interpretation der Aufgabe, die du gestellt hast? mfg thureduehrsen [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]\(\endgroup\)


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-11

Zwischen beiden Normen steht tatsächlich ein "I", es könnte also ein Quotient gemeint sein. Der erste Knackpunkt ist also das Verständnis der Aufgabe. Der zweite, das zu beweisen. Wie könnte ich dabei vorgehen? VK Prinzessinaladina


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thureduehrsen
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-06-11

Hast du einen Aufgabenzettel, den du einscannen kannst? mfg thureduehrsen


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zippy
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-06-11

\quoteon(2022-06-11 23:49 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 13) Zwischen beiden Normen steht tatsächlich ein "I", es könnte also ein Quotient gemeint sein. \quoteoff Damit ist kein Quotient gemeint, sondern die Menge "alle Werte von $\|x\|_1$ für die $x$ mit der Eigenschaft $\|x\|_2=r$". Diese Menge schreibt man als $\bigl\{\|x\|_1:\|x\|_2 = r\bigr\}$ oder $\bigl\{\|x\|_1\bigm|\|x\|_2 = r\bigr\}$.


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

Es steht ein I zwischen beiden Normen in der Mengenklammer. Hier die Aufgabe: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54157_Bildschirmfoto_2022-06-12_um_00.02.48.png [Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-06-12

\quoteon(2022-06-12 00:04 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 16) Es steht ein I zwischen beiden Normen in der Mengenklammer. \quoteoff Das ist kein I sondern ein senkrechter Strich.


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

Ok, danke, damit ist die Aufgabenstellung entschlüsselt, das ist mir bislang nicht (bewusst) so begegnet. Für alle x, dessen eine beliebige Norm = r (mit r>0) ist, wird eine andere beliebige Norm gebildet. Und von beiden soll das Minimum >0 sein? VG Prinzessinaladina [Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

Wie kann ich an den Beweis herangehen? VG Prinzessinaladina


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zippy
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  Beitrag No.20, eingetragen 2022-06-12

\quoteon(2022-06-12 00:12 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 18) Und von beiden soll das Minimum >0 sein? \quoteoff Nein, nicht von beiden. Von der Norm, die links von "$|$" steht. \quoteon(2022-06-12 00:21 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 19) Wie kann ich an den Beweis herangehen? \quoteoff \quoteon(2022-06-11 23:18 - zippy in Beitrag No. 11) Und eine deiner Lösungsideen ist auch die richtige: \quoteon(2022-06-11 22:27 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 3) Oder hat es etwas mit Kompaktheit und dem Satz vom Max/Min zu tun? \quoteoff \quoteoff


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thureduehrsen
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-06-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Ich habe vorhin (Beitrag No. 12) über freie Variablen lamentiert und dann selbst nicht alle Variablen sauber eingeführt. Anstelle von
Sei \(d\in\mathbb{N}_{>0}\), und seien \(\|\cdot\|_1\) und \(\|\cdot\|_2\) zwei beliebige Normen auf \(\mathbb{R}^d\). Sei \(r\) eine positive reelle Zahl. Begründen Sie, dass \[ \min\{\|x\|_1\colon\, \|x\|_2 = r\} \] existiert und größer als 0 ist.
hätte ich also Folgendes schreiben müssen:
Sei \(d\in\mathbb{N}_{>0}\), und seien \(\|\cdot\|_1\) und \(\|\cdot\|_2\) zwei beliebige Normen auf \(\mathbb{R}^d\). Sei \(r\) eine positive reelle Zahl. Begründen Sie, dass \[ \min\{\|x\|_1\colon\, x\in \mathbb{R}^d \land \|x\|_2 = r\} \] existiert und größer als 0 ist.
Warum ist dieser Fehler dennoch, wie ich finde, verzeihlich? Weil das \(x\) im Argument der Norm steht und damit, weil nichts anderes dazu gesagt wurde, klar ist, dass jedes \(x\in \mathbb{R}^d\) infrage kommt, weil die Normen für alle \(x\in \mathbb{R}^d\) definiert sind. Wie man an den Beweis herangeht, habt zippy und du ja schon geklärt. Trotzdem möchte ich dich erstens bitten, erstens die Aufgabenstellung stets im Wortlaut anzugeben, damit wir nicht so viel raten müssen. Zweitens ist es mindestens bemerkenswert, dass dir der senkrechte Strich für eine intensionale Mengenbeschreibung unbekannt ist! Dass die Symbole \(\|\cdot\|_1\) und \(\|\cdot\|_2\) hier, beginnend mit Beitrag No. 1, für beliebige Normen auf \(\mathbb{R}^d\) stehen sollen, obowhl sie anderweitig Standard sind (etwa \(\|\cdot\|_2\) als euklidische Norm), sollte zumindest auch einmal erwähnt werden. Auf dem Aufgabenzettel stehen die Indizes immerhin in Klammern. mfg thureduehrsen
\(\endgroup\)


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helmetzer
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  Beitrag No.22, eingetragen 2022-06-12

\quoteon(2022-06-12 00:04 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 16) Es steht ein I zwischen beiden Normen in der Mengenklammer. Hier die Aufgabe: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54157_Bildschirmfoto_2022-06-12_um_00.02.48.png [Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.] \quoteoff Wenn du statt deiner Prosa dieses im Themenstart gepostet hättest, hätten 15 Beiträge eingespart werden können.


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

Guten Morgen, ich habe die Hinweise zu den Regeln im Forum verstanden und werde es ab sofort so handhaben. VG Prinzessinaladina


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.24, eingetragen 2022-06-12

\quoteon(2022-06-12 11:52 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 23) ich habe die Hinweise zu den Regeln im Forum verstanden und werde es ab sofort so handhaben. \quoteoff Hallo Prinzessinaladina, das sind keine Forumsregeln. Prinzipiell finde ich es gar nicht schlecht, wenn du versuchst, einen Sachverhalt (oder in diesem Fall eine Aufgabenstellung) mit eigenen Worten wiederzugeben. Bei dieser Aufgabe ist dir das nur nicht so gut gelungen - ich hoffe, dass du das nun selbst gemerkt hast. Ein wesentlicher Bestandteil der Mathematik ist es, sich unmissverständlich auszudrücken. Für einen Anfänger ist das nicht immer ganz einfach. Außerdem empfehle ich dir, sobald wie möglich etwas LaTeX zu lernen. Über kurz oder lang kommst du da ohnehin nicht dran vorbei. Grüße StrgAltEntf


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

Ja, das stimmt, das wird mein Programm für die Semesterferien. VG Prinzessinaladina


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.26, eingetragen 2022-06-12

Zur Aufgabe: Überlege dir, dass (i) $\{x\in\IR^r:\|x\|_1=r\}$ kompakt und (ii) die Abbildung $\IR^d\to\IR$, $x\mapsto\|x\|_2$ stetig ist. Was folgt daraus für die Existenz des Minimums? Wieso kann das Minimum nicht 0 sein?


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

Danke für Infos - ich antworten in die Zeilen: Zur Aufgabe: Überlege dir, dass (i) $\{x\in\IR^r:\|x\|_1=r\}$ kompakt und (ii) die Abbildung $\IR^d\to\IR$, $x\mapsto\|x\|_2$ stetig ist. Für die Kompaktheit zeige ich bei (i), dass die Menge abgeschlossen und beschränkt ist (d.h. bzg. der Abgeschlossenheit, dass das Komplement offen ist). Stetigkeit unter (ii) liegt vor, weil solche Abbildungen, die einem x die Norm zuordnen, stetig sind. Was folgt daraus für die Existenz des Minimums? Damit sind dann die Voraussetzungen für die Gültigkeit des Satzes vom Min und Max gegeben, d.h. ich habe in der Menge einen minimalen Abbildungswert liegen und das ist das Minimum. Wieso kann das Minimum nicht 0 sein? Das Minimum kann wegen der Äquivalenz von Normen und weil die (1)-Norm > 0 ist, ebenso nur > 0 sein. Ist das so schlüssig? VG Prinzessinaladina \quoteoff


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zippy
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  Beitrag No.28, eingetragen 2022-06-12

\quoteon(2022-06-12 13:10 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 27) Das Minimum kann wegen der Äquivalenz von Normen und weil die (1)-Norm > 0 ist, ebenso nur > 0 sein. \quoteoff Wenn dir die Äquivalenz von Normen auf dem $\mathbb R^d$ bereits bekannt ist, wäre die Aufgabe aber nicht besonders spannend. Vielleicht sollten wir auch die "Hauptaufgabe", zu der diese Zusatzaufgabe gehört, kennen.


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

Es gehört dazu keine Hauptaufgabe, die Aufgabe hat keinen Bezug zu den anderen Aufgaben (Aufgaben zu partiellen Ableitungen). VG Prinzessinaladina


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.30, eingetragen 2022-06-12

Wenn du bereits weißt, dass eine Norm-Abbildung stetig ist, ist das schon mal die halbe Miete. Hieraus folgt dann auch sofort, dass die besagte Menge abgeschlossen ist. (Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Funktion.) Um zu zeigen dass das Minimum nicht 0 ist, brauchst du nicht mit der Äquivalenz von Normen zu argumentieren. Was würde nämlich folgen, wenn das Minimum 0 angenommen würde? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.27 begonnen.]


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

Dass das ein Widerspruch zur Voraussetzung ist, die (1)-Norm sei >0?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.32, eingetragen 2022-06-12

\quoteon(2022-06-12 13:35 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 31) Dass das ein Widerspruch zur Voraussetzung ist, die (1)-Norm sei >0? \quoteoff Es kann doch auch \(\|x\|_1=0\) sein.


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

In der Aufgabenstellung steht hinter der Mengenklammer r>0.


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  Beitrag No.34, eingetragen 2022-06-12

\quoteon(2022-06-12 13:51 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 33) In der Aufgabenstellung steht hinter der Mengenklammer r>0. \quoteoff Du könntest es so aufschreiben: Da das Minimum angenommen wird, existiert \(x\in\IR^d\) mit \(\|x\|_1=r\) und \(\|x\|_2=m\). Da \(r>0\) folgt aus der Definitheit von \(\|\cdot\|_1\), dass \(x\neq0\). Aus der Definitheit von \(\|\cdot\|_2\) folgt dann, dass \(m\neq0\).


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

Danke, ich denke, ich kann den Beweis jetzt führen. VG Prinzessinaladina


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  Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

\quoteon(2022-06-12 13:29 - StrgAltEntf in Beitrag No. 30) Wenn du bereits weißt, dass eine Norm-Abbildung stetig ist, ist das schon mal die halbe Miete. Hieraus folgt dann auch sofort, dass die besagte Menge abgeschlossen ist. (Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Funktion.) Ich muss an dieser Stelle doch nochmal meine Verständnisschwierigkeiten offenlegen: Die Menge der x, für die die(1)-Norm = r ist, ist abgeschlossen, da das Komplement offen ist, richtig? Und für die Beschränktheit ist 0 eine untere Schranke, aber was ist die obere Schranke? Danke für deine Geduld, Prinzessinaladina Um zu zeigen dass das Minimum nicht 0 ist, brauchst du nicht mit der Äquivalenz von Normen zu argumentieren. Was würde nämlich folgen, wenn das Minimum 0 angenommen würde? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.27 begonnen.] \quoteoff


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thureduehrsen
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  Beitrag No.37, eingetragen 2022-06-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) \quoteon(2022-06-12 19:29 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 36) Ich muss an dieser Stelle doch nochmal meine Verständnisschwierigkeiten offenlegen: Die Menge der x, für die die(1)-Norm = r ist, ist abgeschlossen, da das Komplement offen ist, richtig? Und für die Beschränktheit ist 0 eine untere Schranke, aber was ist die obere Schranke? \quoteoff Du schreibst hier etwas zu fahrig. \quoteon(2022-06-12 19:29 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 36) Die Menge der x, für die die(1)-Norm = r ist, ist abgeschlossen, da das Komplement offen ist, richtig? \quoteoff Richtig. Aber wie begründest du, dass das Komplement offen ist? \quoteon(2022-06-12 19:29 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 36) Und für die Beschränktheit ist 0 eine untere Schranke \quoteoff Wie hast du vor zu argumentieren? Du musst zeigen, dass die Menge \(\{x\in\mathbb{R}^d:\|x\|_1=r\}\) beschränkt ist. Also, dass es eine reelle Zahl \(M\geq 0\) so gibt, dass die Norm eines jeden Elements der Menge \(\{x\in\mathbb{R}^d:\|x\|_1=r\}\) nicht größer als \(M\) ist. Welches \(M\) bietet sich da an? mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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Prinzessinaladina
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  Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-12

\quoteon(2022-06-12 20:12 - thureduehrsen in Beitrag No. 37) \quoteon(2022-06-12 19:29 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 36) Ich muss an dieser Stelle doch nochmal meine Verständnisschwierigkeiten offenlegen: Die Menge der x, für die die(1)-Norm = r ist, ist abgeschlossen, da das Komplement offen ist, richtig? Und für die Beschränktheit ist 0 eine untere Schranke, aber was ist die obere Schranke? \quoteoff Du schreibst hier etwas zu fahrig. \quoteon(2022-06-12 19:29 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 36) Die Menge der x, für die die(1)-Norm = r ist, ist abgeschlossen, da das Komplement offen ist, richtig? \quoteoff Richtig. Aber wie begründest du, dass das Komplement offen ist? -> Das Komplement umfasst alle x, für die die Norm kleiner oder größer r ist, d.h. die Menge enthält ausschließlich innere Punkte. \quoteon(2022-06-12 19:29 - Prinzessinaladina in Beitrag No. 36) Und für die Beschränktheit ist 0 eine untere Schranke \quoteoff Wie hast du vor zu argumentieren? Du musst zeigen, dass die Menge \(\{x\in\mathbb{R}^d:\|x\|_1=r\}\) beschränkt ist. Also, dass es eine reelle Zahl \(M\geq 0\) so gibt, dass die Norm eines jeden Elements der Menge \(\{x\in\mathbb{R}^d:\|x\|_1=r\}\) nicht größer als \(M\) ist. Welches \(M\) bietet sich da an? -> r selbst mfg thureduehrsen \quoteoff


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thureduehrsen
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  Beitrag No.39, eingetragen 2022-06-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) \quoteon Aber wie begründest du, dass das Komplement offen ist? \quoteon -> Das Komplement umfasst alle x, für die die Norm kleiner oder größer r ist, d.h. die Menge enthält ausschließlich innere Punkte. \quoteoff \quoteoff Der Gedanke ist richtig. Aber warum ist jeder der Punkte der Menge \(\{x\in\mathbb{R}^d:\|x\|_1\neq r\}\) ein innerer Punkt in \(\mathbb{R}^d\)? mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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