Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Moduln » Beispiel für noethersche/ artinsche Moduln
Autor
Universität/Hochschule J Beispiel für noethersche/ artinsche Moduln
eisenstein01
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 15.02.2022
Mitteilungen: 117
  Themenstart: 2022-07-06

Hi Leute, ich bin gerade am nachrechnen ob $\mathbb{C}[T_1,T_2,...]/(T_1^2,T_2^2,...)$ als Modul über sich selbst noethersch und artinsch ist. Ich denke, er ist auf jeden Fall mal nicht noethersch, denn: Betrachtet man die Ideale in $\mathbb{C}[T_1,T_2,...]/(T_1^2,T_2^2,...)$ , so korrespondieren diese ja genau zu den Idealen $\tilde{I}$ in $\mathbb{C}[T_1,T_2,...]$, die $(T_1^2,T_2^2,...)$ umfassen. Wenn ich das richtig sehe (und hier ist meine Frage, ob das stimmt?), ist aber $(T_1,T_2,...)$ das einzige Ideal, das $(T_1^2,T_2^2,...)$ umfasst. Das entsprechende Ideal in $\mathbb{C}[T_1,T_2,...]/(T_1^2,T_2^2,...)$ ist doch also dann von der Form $(T_1,T_2,...)/(T_1^2,T_2^2,...)$ und dieses ist allerdings nicht endlich erzeugt, weshalb der Ring nicht noethersch ist und also auch über sich selbst nicht noethersch sein kann. Stimmt das soweit? Für artinsch habe ich keine Idee, nur evtl. den Satz von Hopkins-Levitzki? LG und Danke!


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-07

\quoteon(2022-07-06 20:38 - eisenstein01 im Themenstart) Wenn ich das richtig sehe (und hier ist meine Frage, ob das stimmt?), ist aber $(T_1,T_2,...)$ das einzige Ideal, das $(T_1^2,T_2^2,...)$ umfasst. \quoteoff Nein. Es gibt sehr viel mehr. Überlege dir einmal welche. Aber das brauchst man hier ja auch nicht. Du hast richtig hingeschrieben, dass das Ideal $(\overline{T_1},\overline{T_2},\dotsc)$ nicht endlich-erzeugt ist. Aber du musst es dann auch noch beweisen. Beachte, dass wir hier in einem Quotientenring arbeiten. Jeder kommutative Artinsche Ring ist auch Noethersch. https://stacks.math.columbia.edu/tag/00J4


   Profil
eisenstein01
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 15.02.2022
Mitteilungen: 117
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07

\quoteon(2022-07-07 02:12 - Triceratops in Beitrag No. 1) \quoteon(2022-07-06 20:38 - eisenstein01 im Themenstart) Wenn ich das richtig sehe (und hier ist meine Frage, ob das stimmt?), ist aber $(T_1,T_2,...)$ das einzige Ideal, das $(T_1^2,T_2^2,...)$ umfasst. \quoteoff Nein. Es gibt sehr viel mehr. Überlege dir einmal welche. Aber das brauchst man hier ja auch nicht. Du hast richtig hingeschrieben, dass das Ideal $(\overline{T_1},\overline{T_2},\dotsc)$ nicht endlich-erzeugt ist. Aber du musst es dann auch noch beweisen. Beachte, dass wir hier in einem Quotientenring arbeiten. Jeder kommutative Artinsche Ring ist auch Noethersch. https://stacks.math.columbia.edu/tag/00J4 \quoteoff Danke! Aber eine Frage zu dieser Äquivalenz, nur damit ich das richtig verstehe: Die Aussage bezieht sich nur auf Ringe und nicht auf Moduln oder? Ansonsten wäre ja $[1/p]\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ als $\mathbb{Z}$-Moduln nicht artinsch, da er nicht noethersch ist.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-07

Ich habe ja "Ring" geschrieben. Aber $R$ ist ja Artinsch (bzw. Noethersch) genau dann wenn $R$ als $R$-Modul Artinsch (bzw. Noethersch) ist. Insofern geht es in deiner Frage (äquivalent) um den Begriff für Ringe.


   Profil
eisenstein01
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 15.02.2022
Mitteilungen: 117
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-07

\quoteon(2022-07-07 10:13 - Triceratops in Beitrag No. 3) Ich habe ja "Ring" geschrieben. Aber $R$ ist ja Artinsch (bzw. Noethersch) genau dann wenn $R$ als $R$-Modul Artinsch (bzw. Noethersch) ist. Insofern geht es in deiner Frage (äquivalent) um den Begriff für Ringe. \quoteoff Ja, das habe ich schon richtig gelesen. Meine Frage war eigentlich eher: Diese Aussage für Ringe ist auf beliebige Moduln über $R$ nicht übertrag, oder? Danke auf jeden Fall für die Hilfe. Kennst du ein gutes Einführungswerk in die kommutative Algebra für Neueinsteiger?


   Profil
eisenstein01 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
eisenstein01 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
eisenstein01 wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]