Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Mathematik » Geometrie » Längen- und Winkeltreue von orthogonalen Lineartransformationen
Autor
Universität/Hochschule Längen- und Winkeltreue von orthogonalen Lineartransformationen
herc_boops
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.08.2022
Mitteilungen: 1
  Themenstart: 2022-08-15

Hallo Matroids! Ich lerne grad für eine Prüfung und eine Aufgabe lautet: Wir betrachten den euklidischen Vektorraum ℝ^n mit dem kanonischen inneren Produkt 𝑥⃗∗ 𝑦⃗,𝑥⃗,𝑦⃗ ∈ℝ^n. Eine lineare Abbildung 𝑓: ℝ^n →ℝ^n heißt orthogonal, wenn gilt: ∀ 𝑥⃗,𝑦⃗ ∈ℝ𝑛: 𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗)=𝑥⃗∗𝑦⃗ a) Man zeige, dass eine orthogonale Abbildung längen und winkeltreu ist, d.h. es gilt: ∀ 𝑥⃗,𝑦⃗ ∈ℝ𝑛: ‖𝑓(𝑥⃗)‖=‖𝑥⃗‖ und ∢(𝑓(𝑥⃗),𝑓(𝑦⃗))=∢ (𝑥⃗,𝑦⃗) Was mich verwirrt ist die Tatsache, dass die Definition von linearen Abbildungen, die orthogonal sind, folgendermaßen lautet: 𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗)=𝑥⃗∗𝑦⃗ Ich hätte gesagt Längentreue gilt wegen mit der Definition von orthogonalen Lineartransformation: 𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗)=𝑥⃗∗𝑦⃗ und der Definition für das Standardskalarprodukt: 𝑥⃗∗𝑦⃗=sum(xi*yi), i=1,2,...,n und der Definition der Norm/Länge: ‖𝑥⃗‖=sqrt(𝑥⃗*𝑥⃗) daraus folgt: 𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑥⃗)= 𝑥⃗*𝑥⃗= ‖𝑥⃗‖^2, da ‖𝑥⃗‖=sqrt(𝑥⃗*𝑥⃗) daraus folgt: ‖𝑓(𝑥⃗)‖=‖𝑥⃗‖ (Beweis zu Ende) und Winkeltreue wegen: Definition von orthogonalen Lineartransformationen: 𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗)=𝑥⃗∗𝑦⃗ daraus folgt wie vorhin festgestellt: ‖𝑓(𝑥⃗)‖=‖𝑥⃗‖, Da aufgrund der Schwarz'schen Ungleichung der Betrag des Winkels zwischen zwei Vektoren festgelegt ist als (𝑥⃗∗𝑦⃗)/ (‖𝑥⃗‖*‖𝑦⃗‖)=cos(a) (a=Winkel zwischen den Vektoren x und y) wegen 𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗)=𝑥⃗∗𝑦⃗ und ‖𝑓(𝑥⃗)‖=‖𝑥⃗‖ können wir schreiben (𝑥⃗∗𝑦⃗)/ (‖𝑥⃗‖*‖𝑦⃗‖)= (𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗))/(‖𝑓(𝑥⃗)‖*‖𝑓(𝑦⃗)‖) (Beweis zu Ende) Wenn das stimmt freut mich das sehr, aber mir kommt der Beweis für die Längentreue irgendwie holprig vor. Kann mir bitte jemand bestätigen, dass das stimmt bzw. auf den Mangel an Zusammenhang hinweisen? Vielen Dank! mit freundlichen Grüßen, H.B.


   Profil
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9701
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-15

Hallo und willkommen hier im Forum! Denke - für die Längentreue an den Zusammenhang zwischen Standardskalarprodukt und euklidischer Norm sowie - für die Winkeltreue an den Zusammenhang zwischen Standardskalarprodukt und Kosinusfunktion. (Wenn letzteres nicht zur Verfügung steht, muss man es hier eventuell zeigen.) Edit: das hast du ja genau so gemacht, also: passt beides! 🙂 Gruß, Diophant


   Profil
herc_boops wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]