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Universität/Hochschule J Satz über implizite Funktionen Anschauung
WhatEvenIsAName
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  Themenstart: 2022-10-07

Hey, also ich habe den Beweis zu den impliziten Funktionen einmal durchgelesen, verstanden und den Großteil wieder vergessen. Aus dem Satz der impliziten Funktionen kann man auch den Satz zur lokalen Umkehrbarkeit herleiten. Letzterer scheint mir anschaulich zumindest im Ansatz Sinn zu machen, also, dass man z.B. ein Stück auf einer differenzierbaren Funktion im R^2 wählen kann, dass streng monoton steigt und somit dort bijektiv ist. Meine Frage ist nun gibt es nur eine sinnvolle Anschauung über die lokale Umkehrbarkeit von Funktionen oder hat der Satz über implizite Funktionen noch eine eigene sinnvolle und intuitive Anschauung?


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-08

Hallo WhatEvenIsAName, für mich ist eine anschauliche Bedeutung, dass man zu einer implizit durch \(F(x,y(x))=0\) gegebenen Funktion \(y(x)\) Aussagen über deren Ableitung machen kann, ohne dass man vom Funktionsverlauf eine anschauliche Vorstellung hat. Beispiel https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=248478 Viele Grüße, Stefan


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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, in niedrigen Dimensionen kann man den Satz sehr gut anschaulich betrachten. Hat man zum Beispiel eine Kurve im $\mathbb R^2$, die durch eine Gleichung der Form $F(x,y)=0$ gegeben ist (z.B. $F(x,y)=x^2+y^2-1$ für den Einheitskreis), dann ist die Grundfragestellung in diesem Kontext, in der Umgebung welcher Punkte auf der Kurve man die Kurve als Graph einer Funktion über der $x$-Achse oder der $y$-Achse darstellen kann. Der Satz über implizite Funktionen liefert dafür eine hinreichende Bedingung. Wenn man sich im $\mathbb R^2$ mal verschiedene Beispiele solcher Kurven anschaut, dann ist anschaulich klar, dass das ganze möglich ist, sofern die Tangente an diese Kurve an einem Punkt nicht parallel zu der jeweiligen Achse ist, d.h., möchte man die Gleichung in einer Umgebung eines Punktes $(x_0,y_0)$ eindeutig nach $y$ auflösen, dann sollte anschaulich die Tangente an diesem Punkt nicht parallel zur $y$-Achse sein (schon am Beispiel des Einheitskreises sieht man das sehr schön). Das ist im Prinzip genau die Voraussetzung der Invertierbarkeit einer bestimmten linearen Abbildung bei dem Satz. Im Kern geht es also darum, wann man eine Gleichung der Form $F(x,y)=0$ eindeutig nach $x$ bzw. nach $y$ auflösen kann. Bei dem Umkehrsatz geht es im Prinzip auch genau darum: Wann kann man die Gleichung $f(x)-y=0$ eindeutig nach $x$ auflösen? LG Nico \(\endgroup\)


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WhatEvenIsAName
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-09

Danke, das hat alles klar gemacht!


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