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Universität/Hochschule J Beweis Gleichung ---> Nichtexistenz der Umkehrfunktion?
IVmath
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Hallo, sind meine Vermutung und mein Beweis unten mathematisch und sprachlich korrekt? Sind sie mathematisch und sprachlich gut formuliert? Wie können sie verbessert werden? Wie können sie prägnanter formuliert bzw. verkürzt werden? Es ist ein neuer mathematischer Satz. Darin geht es darum, dass aus der Existenz gewisser Lösungen einer Gleichung einer Funktion die Nichtexistenz der Umkehrfunktion in einer gegebenen Funktionenklasse folgt. Das spielt z. B. eine Rolle bei der Entscheidbarkeit der Existenz von Umkehrfunktionen in geschlossener Form (z. B. in Elementaren Funktionen oder in Speziellen Funktionen). (Ich bin kein Mathematiker und kein Student.) Vielen vielen Dank. Vermutung: Seien $\alpha$ eine Konstante, $f$ eine nicht leere Funktion, $F$ eine Menge von Funktionen, $F_{bij}(\alpha)$ die Menge der Funktionswerte aller an der Stelle $\alpha$ definierten bijektiven Funktionen aus $F$ an der Stelle $\alpha$, $z$ eine Variable. Es sei die Gleichung $f(z)=\alpha$ gegeben. a) Wenn die Gleichung mehrere Lösungen hat, dann hat $f$ keine Umkehrfunktion. b) Wenn die Gleichung mindestens eine Lösung $z_0\notin F_{bij}(\alpha)$ für $z$ hat, dann hat $f$ keine Umkehrfunktion in $F$. c) Wenn $\alpha$ ein Funktionswert von $f$ ist und die Gleichung keine Lösung $z_0\in F_{bij}(\alpha)$ für $z$ hat, dann hat $f$ keine Umkehrfunktion in $F$. Beweis: Wir betrachten die Gleichung aus dem Satz und deren Lösungen $z_0$: $$f(z_0)=\alpha.\tag{1}$$ Wenn $z_0\notin\mathrm{dom}(f)$, dann existiert $f(z_0)$ nicht, dann ist $z_0$ keine Lösung der Gleichung. Wenn $\alpha\notin f(\mathrm{dom}(f))$, dann $z_0\notin\mathrm{dom}(f)$, dann ist nach dem eben Gesagten $z_0$ keine Lösung der Gleichung. Die Gleichung hat also nur Lösungen, wenn $z_0\in\mathrm{dom}(f)$ und $\alpha\in f(\mathrm{dom}(f))$. Wenn die Gleichung Lösungen hat, dann sind die Lösungen Argumente von $f$ und $\alpha$ ist das Bild der Lösungen unter der Funktion $f$. Beweis von Teil a) des Satzes Gleichung (1) habe gemäß Voraussetzung des Teils a) des Satzes mehrere Lösungen. Dann ist $\alpha$ nach dem eben Gesagten das Bild mehrerer Argumente von $f$. Damit ist $f$ nicht injektiv und demzufolge nicht bijektiv. Daraus folgt, dass $f$ keine Umkehrfunktion hat. Damit ist Teil a) des Satzes bewiesen. Beweis von Teil b) des Satzes Gleichung (1) habe gemäß Voraussetzung des Teils b) des Satzes mindestens eine Lösung. Wenn die Gleichung mehrere Lösungen hat, dann hat $f$ nach Teil a) des Satzes keine Umkehrfunktion. Dann hat $f$ keine Umkehrfunktion in $F$. Gleichung (1) habe nun genau eine Lösung $z_0$. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, $f$ habe eine Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $F$. Dann existiert der Funktionswert $z_0=f^{-1}(\alpha)$ der Funktion $f^{-1}$, dann wäre $f^{-1}$ bijektiv und demzufolge $z_0\in F_{bij}(\alpha)$. Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung $z_0\notin F_{bij}(\alpha)$ des Satzes. Somit war die Annahme falsch. Daraus folgt, dass $f$ keine Umkehrfunktion in $F$ hat. Damit ist Teil b) des Satzes bewiesen. Beweis von Teil c) des Satzes $\alpha$ sei gemäß Voraussetzung des Teils c) des Satzes ein Funktionswert von $f$. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, $f$ habe eine Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $F$. Dann existiert der Funktionswert $z_0=f^{-1}(\alpha)$ der Funktion $f^{-1}$. Da damit dann auch $f(z_0)=\alpha$ gälte, wäre $z_0$ eine Lösung der Gleichung (1). Außerdem wäre $f^{-1}$ bijektiv und demzufolge $z_0\in F_{bij}(\alpha)$. Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung des Satzes, dass die Gleichung keine Lösung $z_0\in F_{bij}(\alpha)$ hat. Somit war die Annahme falsch. Daraus folgt, dass $f$ keine Umkehrfunktion in $F$ hat. Damit ist Teil c) des Satzes bewiesen. Damit ist der Satz bewiesen.


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IVmath
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Gibt es einen mathematischen Begriff für Gleichung (1) in Bezug auf die Funktion $f$? Kann wirklich niemand antworten? Das mathematische Problem ist doch sehr einfach für Euch. Es sind doch alles ganz einfache Zusammenhänge. Weil ich als Nichtmathematiker aber das mathematische Schließen und Beweisen nie gelernt habe, habe ich Sorge, dass ich vielleicht etwas übersehen haben könnte. Eure Antworten wären wichtig, weil es ein neuer mathematischer Satz wäre, der mit einigem Gewinn anzuwenden ist. Nehmt für die Menge $F$ z. B. die Elementaren Funktionen und für $\alpha$ Null oder eine andere elementare Zahl. Leider scheint der Satz von Lin ([Lin 1983]) bisher der einzige bekannte Existenzsatz zu sein. Er betrachtet Gleichungen des Typs $P(x,e^x)=0$, worin $P(x,e^x)$ ein $x$ und $e^x$ enthaltendes irreduzibles Polynom über den algebraischen Zahlen ist. Man kann ihn aber erweitern auf Gleichungen des Typs $P(g(x),e^{g(x)})=0$, worin $g$ eine elementare Funktion ist, also z. B. auf Gleichungen der Typen $P(x,\ln(x))=0$ und $P(e^x,e^{e^x})=0$. Im Übrigen suche ich noch einen oder mehrere Mathematiker, die mit mir gemeinsam die Theorie der elementaren Funktionen und elementaren Zahlen von Liouville, Ritt, Lin und Chow erweitern und auf andere Funktionenklassen verallgemeinern. Lasst es uns doch probieren.


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02

Mithilfe des hier vorgestellten Satzes lässt sich z. B. aus Lins Satz folgern, dass irreduzible Exponentialpolynomfunktionen mit sämtlich algebraischen Koeffizienten keine Umkehrfunktion in den Elementaren Funktionen haben können, z. B. die bekannten Funktionen $x\mapsto xe^x$ (deren Umkehrfunktion Lambert W ist) oder $x\mapsto x-a\sin(x)$ der Kepler-Gleichung. Ich denke mal, es ist nicht offensichtlich, dass aus der Nichtexistenz elementarer Lösungen einer Gleichung auf die Nichtexistenz einer elementaren Umkehrfunktion geschlossen werden kann. Oder?


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Na, traut sich niemand, zu antworten? Es würde doch schon helfen, wenn Ihr schreiben würdet: "Auf die Schnelle sind mir keine Fehler aufgefallen." Oder eben wenn Ihr Fehler bemerkt. Ohne Antwort weiß ich ja gar nicht, woran ich mit dem Satz und Beweis bin.


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IVmath
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-19

Hat noch immer niemand eine Antwort? Traut Euch doch bitte.


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DavidM
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-19

Hallo IVMath, im Prinzip ist es richtig, was du schreibst. Die Formulierungen sind aber noch nicht ganz sauber: In welcher Menge liegt $\alpha$ Von wo nach wo sollen $f$ und die Funktionen in $F$ abbilden? Beachte, dass es ohne einen festgelegten Wertebereich überhaupt keinen Sinn ergibt, von Bijektivität zu sprechen. Man kann die Aussagen, wenn man möchte, für eine Funktion $f: A \to B$mit beliebigen Mengen $A,B$ formulieren, dann sollte das aber auch so dastehen. Den Beweis von b) kann man außerdem deutlich verkürzen: Angenommen $f$ hätte eine Umkehrfunktion $f^{-1} \in F$. Dann ist $f^{-1}$ bijektiv und $f^{-1}(\alpha)=z_0$. Das bedeutet nach Definition gerade, dass $z_0 \in F_{bij} (\alpha)$. Widerspruch. Man muss also nicht erst die Fälle, in denen es nicht genau eine Lösung gibt, extra betrachten. Gruß, David


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IVmath
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-19

Danke, danke für Deine Antwort. Vielleicht fällt aber noch jemand Anderem etwas ein? \quoteon(2021-12-19 15:07 - DavidM in Beitrag No. 5) im Prinzip ist es richtig, was du schreibst. Die Formulierungen sind aber noch nicht ganz sauber: In welcher Menge liegt $\alpha$ Von wo nach wo sollen $f$ und die Funktionen in $F$ abbilden? Beachte, dass es ohne einen festgelegten Wertebereich überhaupt keinen Sinn ergibt, von Bijektivität zu sprechen. Man kann die Aussagen, wenn man möchte, für eine Funktion $f: A \to B$mit beliebigen Mengen $A,B$ formulieren, dann sollte das aber auch so dastehen.\quoteoff Ich könnte definieren: $M_0,M$: Mengen, $\alpha\in M_0$, $f$ Funktionen in $M$, $F$ eine Menge von Funktionen in $M$. Wäre das damit geheilt?


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DavidM
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-19

"Funktionen in $M$" ist kein klarer Begriff. Eine Funktion hat eine Definitionsmenge und eine Zielmenge, beide müssen mit der Definition angegeben sein. Falls du Funktionen $M \to M$ meinst (also Definitions- und Zielmenge gleich), schreib das auch so. Auf jeden Fall musst du dann aber noch auf etwas anderes aufpassen: Wenn du so etwas wie $f(z)=\alpha$ schreiben willst, sollte $\alpha$ in der Zielmenge von $f$ liegen können, es ist also nicht sehr sinnvoll, $\alpha$ als Element einer Menge $M_0$, die nichts mit der Zielmenge von $f$ zu tun hat, zu definieren. Außerdem musst du, wenn ich dich richtig verstehe, noch einbauen, dass nicht alle Funktionen in $F$ denselben Definitionsbereich haben, sonst könntest du dir den Teil mit "aller an der Stelle $\alpha$ definierten [...] Funktionen aus $F$" ja sparen.


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IVmath
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-19 20:00

"Funktion/en in den komplexen Zahlen" ist aber durchaus üblich. Damit können auch mehrstellige Funktionen in den komplexen Zahlen gemeint sein. Deshalb verwende ich die Formulierung "Funktion/en in $M$". Allerdings schreibe ich auch "Umkehrfunktion in $F$" - anstelle von "Umkehrfunktion $\in F$, in der Hoffnung, dass der Unterschied zwischen den beiden "in" klar wird. Alle mathematischen Objekte im Satz sollen ja so allgemein wie nur möglich definiert sein. $M_0$ und $M$ sollen zwei beliebige Mengen sein, also z. B. auch solche mit $M_0\cap M=\emptyset$.


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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-12-19 21:05

\quoteon(2021-12-19 20:00 - IVmath in Beitrag No. 8) "Funktion/en in den komplexen Zahlen" ist aber durchaus üblich. Damit können auch mehrstellige Funktionen in den komplexen Zahlen gemeint sein. Deshalb verwende ich "Funktion/en in $M$. \quoteoff Trotzdem sollte man jegliche unklaren Formulierungen vermeiden, wenn man Beweise formulieren will. Insbesondere muss in diesem Fall die Wertemenge der beteiligten Funktionen auf jeden Fall festgelegt sein, sonst kann man Surjektivität und damit Bijektivität gar nicht sprechen. Und mehrstellige Funktionen formalisiert man am besten Funktionen, die auf zum Beispiel $\mathbb{C}^n$ definiert sind. \quoteon Allerdings schreibe ich auch "Umkehrfunktion in $F$" - anstelle von "Umkehrfunktion $\in F$, in der Hoffnung, dass der Unterschied zwischen den beiden "in" klar wird. \quoteoff Das ist überhaupt kein Problem, das versteht man sofort. \quoteon Alle mathematischen Objekte im Satz sollen ja so allgemein wie nur möglich definiert sein. \quoteoff Darauf würde ich mich nicht zu sehr versteifen. Wenn du dich nur für Funktionen $\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$ interessierst, schreib das auch so. Das macht es leichter, das ganze zu formulieren, und auch deutlich leichter, es zu lesen. Wenn dir das wichtig ist, kannst du immer noch eine Anmerkung ergänzen, dass man $\mathbb{C}$ auch durch eine beliebige andere Menge ersetzen kann. \quoteon $M_0$ und $M$ sollen zwei beliebige Mengen sein, also z. B. auch solche mit $M_0\cap M=\emptyset$. \quoteoff Wenn aber $f$ eine Abbildung $M \to M$ ist, und du eine Gleichung $f(z)=\alpha$ betrachten willst, solltest $\alpha$ auch in $M$ liegen. Und es ist definitiv sinnvoll, das soweit möglich auch in die direkt so zu formulieren, alles andere würde auch hier wieder nur das Verständnis erschweren.


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IVmath
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-19 23:29

1.) Wie sieht es mit folgender Änderung der Voraussetzungen für $\alpha$, $f$, $F$ und $z_0$ aus? Definition: Sei $M$ eine Menge. Eine Funktion $f$ heißt ''Funktion in der Menge $M$'', wenn $f\colon\mathrm{dom}(f)\subseteq M\to M$. Vermutung: Seien $M$ eine Menge, $\alpha,z_0\in M$, $f$ eine nicht leere Funktion in der Menge $M$, $F$ eine Menge von Funktionen in der Menge $M$, $F_{bij}(\alpha)$ die Menge der Funktionswerte aller an der Stelle $\alpha$ definierten bijektiven Funktionen aus $F$ an der Stelle $\alpha$, $z$ Lösungsvariable. Es sei die Gleichung $f(z_0)=\alpha$ gegeben. a) Wenn die Gleichung mehrere Lösungen $z_0$ hat, dann hat $f$ keine Umkehrfunktion. b) Wenn die Gleichung mindestens eine Lösung $z_0\notin F_{bij}(\alpha)$ hat, dann hat $f$ keine Umkehrfunktion in $F$. c) Wenn $\alpha$ ein Funktionswert von $f$ ist und die Gleichung keine Lösung $z_0\in F_{bij}(\alpha)$ hat, dann hat $f$ keine Umkehrfunktion in $F$. 2.) Ist die Formulierung "mehrere Lösungen $z_0$" hier richtig? $z_0$ ist in den Voraussetzungen des Satzes ja eigentlich schon festgelegt. 3.) Kann ich, wenn ich in einer anderen Formulierung des Satzes das Wort "Lösungsvariable" benötige, die Lösungsvariable $z$ wie oben angegeben definieren? 3.) Ist der Satz offensichtlich und bedarf keines Beweises? Da der Satz aber nicht für Jeden sofort offensichtlich ist, wäre es wichtig, ihn zu beweisen.


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buh
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-12-19 23:34

Ich denke mal, es ist offensichtlich, dass nicht aus der Nichtexistenz elementarer Lösungen einer Gleichung auf die Nichtexistenz einer elementaren Umkehrfunktion geschlossen werden kann. Oder? Gruß von buh2k+21 [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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IVmath
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-19 23:41

\quoteon(2021-12-19 23:34 - buh in Beitrag No. 11) Ich denke mal, es ist offensichtlich, dass nicht aus der Nichtexistenz elementarer Lösungen einer Gleichung auf die Nichtexistenz einer elementaren Umkehrfunktion geschlossen werden kann. Oder?\quoteoff Nicht aus jeder beliebigen Gleichung, da hast Du natürlich recht. Aber wenn $\alpha$ Funktionswert von $f$ und eine elementare Zahl ist, z. B. $0$ wie in Lins Satz ([Lin 1983]), dann schon, wie man mit Teil c) des Satzes herleiten kann. Oder? Aus diesem Grund verstehe ich das Anliegen Deines Beitrages nicht. Kannst Du bitte präzisieren was Du sagen wolltest? Bitte melde Dich, auch wenn mein Argument richtig ist und Du Dich geirrt haben solltest. Das würde sehr helfen, das Verständnis für den Satz und seine Bedeutung zu klären.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-12-20 01:03

\quoteon(2021-11-28 21:55 - IVmath im Themenstart) ... (Ich bin kein Mathematiker und kein Student.) Vielen vielen Dank. ... Vermutung: Es sei die Gleichung $f(z)=\alpha$ gegeben. a) Wenn die Gleichung mehrere Lösungen hat, dann hat $f$ keine Umkehrfunktion. ... Beweis: ... Damit ist der Satz bewiesen. \quoteoff Hallo!? Fangen wir mal damit an. Das ist doch genau die Definition, dass f nicht injektiv und damit nicht bijektiv ist, ist also bestenfalls eine Feststellung, die keines weiteren Beweises bedarf. Wieso erwähnst du das überhaupt und vor allem: Wieso nennst du das einen "neuen mathematischen Satz"? - Auch, wenn da noch etwas hinterher kommen mag. (Ich weiß, dass du nur Hobbymathematiker bist; das betonst du ja oft genug.)


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IVmath
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 10:23

\quoteon(2021-12-20 01:03 - StrgAltEntf in Beitrag No. 13) \quoteon(2021-11-28 21:55 - IVmath im Themenstart) Vermutung: Es sei die Gleichung $f(z)=\alpha$ gegeben. a) Wenn die Gleichung mehrere Lösungen hat, dann hat $f$ keine Umkehrfunktion. \quoteoff … Fangen wir mal damit an. Das ist doch genau die Definition, dass f nicht injektiv und damit nicht bijektiv ist, ist also bestenfalls eine Feststellung, die keines weiteren Beweises bedarf. Wieso erwähnst du das überhaupt und vor allem: Wieso nennst du das einen "neuen mathematischen Satz"? \quoteoff Du hast natürlich recht. Für Mathematiker ist der Beweis dieses Teils des Satzes sofort offensichtlich. Das hatte ich mir natürlich auch von Anfang an überlegt. Ich wollte aber mal einen Beweis lesen, den auch mathematisch nicht Vorgebildete ohne viel Mühe und Aufwand verstehen. Wenn ich genug Erkenntnisse zum Thema beisammen habe, will ich diese für Andere - Mathematiker, Mathematisch Gebildete und Mathematik-Laien, zusammenstellen. Nicht Jedem ist Teil a) des Satzes geläufig, nicht für Jeden aus dem genannten Leserkreis ist der Beweis von Teil a) sofort offensichtlich. Ich habe Teil a) noch nirgendwo sonst gelesen. Vielleicht weil er so offensichtlich ist, vielleicht aber auch weil sich noch nie jemand dafür interessiert hat? Teil a) gehört zum Thema einfach dazu, für die Zielgruppe (die Anwender des Satzes - z. B. Diejenigen, die an Aussagen zur Existenz von Funktionen in bestimmten Funktionenklassen interessiert sind) ist es hilfreich, Hinweise für alle Fälle der Gleichung zusammen präsentiert zu bekommen. Ich nenne den Satz neu, zumindest hier, weil er von Bedeutung für das Thema ist, weil er in Teil b) und c) überraschende neue Erkenntnisse bringt (die zwar sichtbar zu tage liegen, aber nicht von Jedem sofort gesehen werden - siehe z. B. den Beitrag Nr. 11 von buh) und weil ich ihn noch nirgendwo sonst lesen konnte - und auch, um Euer Interesse zu wecken. Du schreibst: "Fangen wir mal damit an." Was ist Euch noch aufgefallen? Welche Hinweise habt Ihr noch? Braucht vielleicht sogar gar kein Teil des Satzes bewiesen werden? Genügt es später, zu sagen, aus dem Satz von Lin ([Lin 1983]) folgt unter der Annahme dass die Vermutung von Schanuel wahr ist, dass die entsprechenden elementaren Funktionen keine elementaren Umkehrfunktionen haben? (Nicht dass dann ein Mathematiker kommt und sagt, das müsse ich erst beweisen.)


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DerEinfaeltige
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-12-20 12:03

Ich antworte mal als Nichtmathematiker: 1. Es ist unklar, was du überhaupt zeigen willst. 2. Bei der mutmaßlichen Thematik wäre es ausgesprochen nützlich, Definitions- und Wertebereiche der Funktionen klar erkennbar anzugeben. Konkrete Fragen/Kritik: Aussage b) $z_0$ ist immer Bestandteil der Menge $F_{bij}(\alpha)$. Es ist ja Funktionswert der bijektiven Funktion $b:\mathbb{D}=\{\alpha\}\subseteq M, b(\alpha) = z_0$. Entsprechend scheint auch die Aussage c) sinnlos. Hat die Gleichung eine Lösung, so liegt diese immer in $F_{bij}(\alpha)$. Die genannte Bedingung wäre daher immer falsch und die Folgerung ex falso quod libet demnach trivial.


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 12:51

\quoteon(2021-12-20 12:03 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 15) 1. Es ist unklar, was du überhaupt zeigen willst. 2. Bei der mutmaßlichen Thematik wäre es ausgesprochen nützlich, Definitions- und Wertebereiche der Funktionen klar erkennbar anzugeben. \quoteoff Ich will die Aussagen des Satzes zeigen. Der Satz, wenn er richtig, sinnvoll und nicht für Jeden sofort offensichtlich ist, soll später natürlich mit einem erklärenden Text vorgestellt werden. Es geht darum, eine Funktionenklasse $F$ vorzugeben, z. B. die Elementaren Funktionen. Bitte versteht mich nicht falsch: Ich will Eure Anmerkungen nicht um der Kritik willen kritisieren. Ich will mit meinen Überlegungen argumentieren, und da gibt es eben Gründe dafür, den Satz nicht so einzuschränken wie Ihr es vorschlagt. Dieser Satz soll für die allgemeinsten mathematischen Objekte gelten. Denkt z. B. an Begriffe und Sätze aus der Kategorientheorie (siehe z. B. nLab). Es ist klar, dass jede Funktion einen Definitionsbereich und einen Wertebereich hat. Die braucht man nicht explizit angeben. Definitions- und Wertebereich verschiedener Funktionen brauchen auch nicht zusammenpassen - dann hat die Gleichung keine Lösung. Der Anwender (Derjenige, der eine gegebene Gleichung oder Klasse von Gleichungen lösen will), hat erstmal nur die Gleichung gegeben, sonst nichts weiter. Alles Weitere ergibt sich doch dann von selbst aus der Funktion $f$ und $\alpha$. Dieser Satz ist die Verallgemeinerung eines entsprechenden Satzes über elementare Umkehrfunktionen, den ich für mich natürlich auch formuliert habe. Im Satz über elementare Umkehrfunktionen geht es natürlich um Funktionen und Umkehrfunktionen in der Menge $\mathbb{C}$. Im Satz, wie in [Ritt 1925], braucht man $\mathbb{C}$ aber nicht erwähnen, denn mit Ritts Definition ist klar, in welcher Grundmenge die elementaren Funktionen liegen.


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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 13:17

\quoteon(2021-12-20 12:03 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 15) Aussage b) $z_0$ ist immer Bestandteil der Menge $F_{bij}(\alpha)$. Es ist ja Funktionswert der bijektiven Funktion $b:\mathbb{D}=\{\alpha\}\subseteq M, b(\alpha) = z_0$. Entsprechend scheint auch die Aussage c) sinnlos. Hat die Gleichung eine Lösung, so liegt diese immer in $F_{bij}(\alpha)$. Die genannte Bedingung wäre daher immer falsch und die Folgerung ex falso quod libet demnach trivial. \quoteoff Ich verstehe Deine Argumentation noch nicht. Die Funktion $b$ muss ja nicht in $F$ liegen. Ich habe doch extra definiert: "$F$ eine Menge von Funktionen, $F_{bij}(\alpha)$ die Menge der Funktionswerte aller an der Stelle $\alpha$ definierten bijektiven Funktionen aus $\pmb{F}$ an der Stelle $\alpha$". Das gleiche Argument gilt für den Teil c). Ist "Funktionen aus $F$" eindeutig? Es soll heißen, dass die Funktion Element der Menge $F$ ist. Es soll nicht damit verwechselt werden, dass die Funktion in der Grundmenge $F$ liegt. Mir sind für diese Unterscheidung noch keine eindeutigen griffigen Formulierungen eingefallen. Bitte melde Dich, auch wenn mein Argument richtig ist und Du Dich geirrt haben solltest. Das würde sehr helfen, das Verständnis für den Satz und seine Bedeutung zu klären. (Bitte helft doch mit, den Satz zu verbessern. Er wird später helfen, Aussagen zur Existenz von Umkehrfunktionen und Lösungen von Gleichungen in gegebenen Funktionenklassen zu treffen. Diese bisher nur bei den von mir an anderer Stelle genannten Autoren behandelte, aber noch nicht zu einer allgemeinen Theorie des Gleichungslösens ausgearbeiteten Thematik kann später (Oder vielleicht bei dem Einen oder Anderen auch jetzt schon?) auch in die Mathematikausbildung einfließen.)


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DavidM
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  Beitrag No.18, eingetragen 2021-12-20 13:41

Hallo IVMath, zunächst einmal: die Formulierung in Beitrag 10 finde ich deutlich besser als die alte. Das "$z_0 \in M$" gehört allerdings an der Stelle nicht hin, das würde dann nämlich bedeuten, dass du am Anfang ein festes $z_0$ wählst. Stattdessen könntest du zum Beispiel bei der Gleichung so etwas wie "mit der Unbekannten $z_0 \in M$" ergänzen. Zu der Frage, ob das eine beweisbedürftige Aussage ist: Ich denke, es ist ein Grenzfall. Ich denke, es ist sicherlich nichts, was man extra formulieren müsste, sondern es reicht völlig aus, wenn man das, wenn man b) oder c) irgendwo braucht, in dem konkreten Kontext das Argument kurz (ähnlich wie ich es in Beitrag 5 für b) gemacht habe, als Teilschritt in einem Beweis angibt. Dann erspart man sich auch viele der Formulierungsfragen, weil manches durch den konkreten Kontext schon gegeben ist.


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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 14:02

\quoteon(2021-12-20 13:41 - DavidM in Beitrag No. 18) zunächst einmal: die Formulierung in Beitrag 10 finde ich deutlich besser als die alte. Das "$z_0 \in M$" gehört allerdings an der Stelle nicht hin, das würde dann nämlich bedeuten, dass du am Anfang ein festes $z_0$ wählst. Stattdessen könntest du zum Beispiel bei der Gleichung so etwas wie "mit der Unbekannten $z_0 \in M$" ergänzen.\quoteoff Mir ist bisher leider noch keine kurze griffige Formulierung dafür eingefallen, zu definieren, dass $z$ die Lösungsvariable der gegebenen Gleichung sein soll. "Es sei die Gleichung $f(z)=\alpha$ gegeben" ist kurz und präzise, wie aber kann ich da die Definition der Lösungsvariablen unterbringen? Außerdem weiß ich nicht, wie man bei einer Variablen die Grundmenge angeben kann. Bei Variablen im Komplexen kann man schreiben "eine komplexe Variable". Kann man hier schreiben "eine Variable in $M$"? \quoteon(2021-12-20 13:41 - DavidM in Beitrag No. 18) Zu der Frage, ob das eine beweisbedürftige Aussage ist: Ich denke, es ist ein Grenzfall. Ich denke, es ist sicherlich nichts, was man extra formulieren müsste, sondern es reicht völlig aus, wenn man das, wenn man b) oder c) irgendwo braucht, in dem konkreten Kontext das Argument kurz (ähnlich wie ich es in Beitrag 5 für b) gemacht habe, als Teilschritt in einem Beweis angibt. Dann erspart man sich auch viele der Formulierungsfragen, weil manches durch den konkreten Kontext schon gegeben ist. \quoteoff Also kein Beweis, sondern wie in der verbreiteten Mathematikliteratur üblich nur Beweisansätze. (Deshalb haben wir Nichtmathematiker ja auch unsere Schwierigkeiten, dieserart Beweise zu verstehen.) Ich entnehme Euren Bemerkungen zur Trivialität und Sinnlosigkeit von Satz und Beweis, dass man den Satz gar nicht beweisen braucht und ihn auch gar nicht explizit formulieren braucht. Prima. Ich entnehme dem aber auch, dass Ihr den Satz, wenn er sauber ausformuliert ist, als wahr erkennt. Prima. Vielen vielen Dank. Bitte helft noch weiter mit, Satz und Beweis sauber auszuformulieren. Wie gesagt, das dürfte von Bedeutung für die spätere Anwendung sein. Also, es geht hier nicht nur um mathematische Übungen, sondern um echte Erweiterungen des bisher allgemein Bekannten.


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  Beitrag No.20, eingetragen 2021-12-20 14:34

\quoteon(2021-12-20 14:02 - IVmath in Beitrag No. 19) Außerdem weiß ich nicht, wie man bei einer Variablen die Grundmenge angeben kann. Bei Variablen im Komplexen kann man schreiben "eine komplexe Variable". Kann man hier schreiben "eine Variable in $M$"? \quoteoff Das ist zwar nicht gerade eine Standardformulierung, sollte aber verständlich sein. Alternativ könntest du auch bei der Unbekannten komplett auf die Angabe einer Menge verzichten (die ist ja nur ein Platzhalter), und erst, wenn du über Lösungen sprichst, spezifizieren, in welcher Menge die liegen sollen. Das hätte bei dir aber den Nachteil, dass du da dann wahrscheinlich an mehreren Stellen dasselbe schreiben musst. \quoteon Also kein Beweis, sondern wie in der verbreiteten Mathematikliteratur üblich nur Beweisansätze. \quoteoff Nein, so meinte ich das auf keinen Fall. Was ich in Beitrag 5 geschrieben habe, ist ein vollständiger Beweis für b). Wenn dir der nicht verständlich erscheint, dann kannst du ihn natürlich noch anders formulieren. Hier ging es mir mehr darum, dass man nicht jeden Teilschritt als eigene Aussage formulieren muss. Das ist aus meiner Sicht auch eher kontraproduktiv fürs Verständnis, weil man für jede extra formulierte Aussage erst einmal diese Aussage und ihren Kontext zum Gesamten verstehen muss. Wenn wir hier schon einige Überlegungen in die Formulierung der Aussage investieren müssen, muss der Leser vermutlich das auch tun. Versteh mich nicht falsch: Manchmal kann es durchaus sinnvoll sein, Teilschritte als separate Aussagen zu formulieren, aber man sollte es damit nicht übertreiben.


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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 15:42

\quoteon(2021-12-20 14:34 - DavidM in Beitrag No. 20) Hier ging es mir mehr darum, dass man nicht jeden Teilschritt als eigene Aussage formulieren muss.\quoteoff Also, wenn nichts dagegen spricht, würde ich den Beweis gern so lassen wie ich ihn formuliert habe. Es soll jeder Teilschritt genannt sein. Wir Unerfahrenen brauchen diese Kurzschrittigkeit. Sind denn der Beweis und seine Teile in Ordnung so und gut formuliert? Sind die logischen Teilschritte alle in der richtigen Reihenfolge? Fehlen Schritte oder sind Schritte zu viel? Schaut doch da bitte nochmal drauf.


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  Beitrag No.22, eingetragen 2021-12-20 16:17

Wenn ich nichts übersehen habe, ist der Beweis korrekt. Allerdings ist tatsächlich im Beweis von b) dieser Teil hier \quoteon(2021-11-28 21:55 - IVmath im Themenstart) Wenn die Gleichung mehrere Lösungen hat, dann hat $f$ nach Teil a) des Satzes keine Umkehrfunktion. Dann hat $f$ keine Umkehrfunktion in $F$. Gleichung (1) habe nun genau eine Lösung $z_0$. \quoteoff überflüssig. Du benutzt in dem Argument, was danach kommt, ja nirgends, dass es nur genau eine Lösung gibt, also reicht es, nur das zweite Argument zu bringen.


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  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 16:26

\quoteon(2021-12-20 16:17 - DavidM in Beitrag No. 22) Allerdings ist tatsächlich im Beweis von b) dieser Teil hier \quoteon(2021-11-28 21:55 - IVmath im Themenstart) Wenn die Gleichung mehrere Lösungen hat, dann hat $f$ nach Teil a) des Satzes keine Umkehrfunktion. Dann hat $f$ keine Umkehrfunktion in $F$. Gleichung (1) habe nun genau eine Lösung $z_0$. \quoteoff überflüssig. Du benutzt in dem Argument, was danach kommt, ja nirgends, dass es nur genau eine Lösung gibt, also reicht es, nur das zweite Argument zu bringen. \quoteoff Ich versteh's noch nicht. Im Argument das danach kommt ist der Fall, dass die Gleichung nur eine einzige Lösung hat, behandelt. Ich muss doch aber auch den Fall, dass die Gleichung mehrere Lösungen hat, behandeln. Darauf muss ich doch den Leser hinweisen. Die Teile a), b) und c) sind eigentlich drei eigenständige Sätze. Ich habe sie nur zusammengefasst, weil sie ja auch zusammengehören. Die Beweise der einzelnen Teile sollen deshalb ebenfalls eigenständig und vollständig sein. Ich glaube, ich kann den ersten Teil des Beweises von Teil b) nicht einfach weglassen.


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  Beitrag No.24, eingetragen 2021-12-20 16:42

Hallo nochmal, ich habe mir ja bisher nur den Satz aus dem Themenstart angeschaut, aber noch nicht das, was du darüber geschrieben hast, wie du den Satz anwenden willst. Und ich glaube, dass eine Anwendung nicht funktionieren kann (das ist vermutlich dasselbe, was Buh in Beitrag 11 meinte). In Beitrag $1$ schreibst du ja, dass du für $F$ die Menge der elementaren Funktionen betrachten willst. Ich gehe einmal davon aus, dass du also Funktionen in $\mathbb{C}$ betrachten möchtest (in $\mathbb{R}$ geht es genauso). In diesem Fall ist aber für jedes mögliche $\alpha$ die Menge $F_{bij}(\alpha)$ gleich ganz $\mathbb{C}$ (Beweis im nächsten Absatz). Damit kann es also ein $z_0$ wie in b) gar nicht geben und die Voraussetzung in c) ist auch nie erfüllt. Zum Beweis von der obigen Aussage: Es sei ein beliebiges $\beta \in \mathbb{C}$ gegeben, wir müssen zeigen, dass $\beta$ dann schon in $F_{bij}(\alpha)$ liegt. Dazu betrachten wir die Funktion $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, die gegeben ist durch $f(x)=x-\alpha+\beta$. Zunächst einmal ist $f$ ein Polynom, also insbesondere eine elementare Funktion, das heißt es liegt in $F$. Außerdem ist klar, dass $f$ bijektiv ist. Also ist $f(\alpha) \in F_{bij}(\alpha)$. Jetzt ist aber ja $f(\alpha)=\alpha-\alpha+\beta=\beta$, also erhalten wir wie gewünscht $\beta \in F_{bij}(\alpha)$. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]


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  Beitrag No.25, eingetragen 2021-12-20 16:48

\quoteon(2021-12-20 16:26 - IVmath in Beitrag No. 23) Ich versteh's noch nicht. Im Argument das danach kommt ist der Fall, dass die Gleichung nur eine einzige Lösung hat, behandelt. \quoteoff Eben nicht, das Argument, was danach kommt, funktioniert auch, wenn es mehr als eine Lösung gibt. Vielleicht sollte man es ein bisschen umformulieren: Ich mache mal einen Vorschlag und versuche dabei, möglichst wenig an deiner Formulierung zu ändern. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, $f$ habe eine Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $F$. Da $z_0$ eine Lösung ist, ist $f(z_0)=\alpha$, also gilt nach der Definition der Umkehrfunktion $z_0=f^{-1}(\alpha)$. Außerdem wäre $f^{-1}$ bijektiv und demzufolge $z_0\in F_{bij}(\alpha)$. Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung $z_0\notin F_{bij}(\alpha)$ des Satzes. Somit war die Annahme falsch. Daraus folgt, dass $f$ keine Umkehrfunktion in $F$ hat. Damit ist Teil b) des Satzes bewiesen.


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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 17:32

\quoteon(2021-12-20 16:42 - DavidM in Beitrag No. 24) Ich gehe einmal davon aus, dass du also Funktionen in $\mathbb{C}$ betrachten möchtest (in $\mathbb{R}$ geht es genauso). In diesem Fall ist aber für jedes mögliche $\alpha$ die Menge $F_{bij}(\alpha)$ gleich ganz $\mathbb{C}$ (Beweis im nächsten Absatz). Damit kann es also ein $z_0$ wie in b) gar nicht geben und die Voraussetzung in c) ist auch nie erfüllt. \quoteoff Na, diese Diskussion hier sollte ja erstmal nur klären, ob Satz und Beweis überhaupt halbwegs verständlich formuliert sind und die Vermutung wahr ist. Aber kommen wir zur Anwendung des Satzes. Der Satz macht Sinn, wenn nicht nur $\alpha\in M$, sondern $\alpha\in M_\alpha\subset M$. Nimm Lins Satz ([Lin 1983]). Darin sind $f$ eine elementare Funktion, die Lösungen (außer $0$) keine elementaren Zahlen und $\alpha$ eine algebraische Zahl, also eine elementare Zahl. Die Elementaren Zahlen werden aus den Ganzen Zahlen erzeugt durch endliche Anwendung elementarer Funktionen. Das kann man natürlich auf andere Funktionenklassen mit den analog erzeugten Zahlen erweitern, z. B. die Liouvilleschen Funktionen oder andere spezielle Funktionen enthaltende Mengen $F$.


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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 17:37

\quoteon(2021-12-20 16:48 - DavidM in Beitrag No. 25) \quoteon(2021-12-20 16:26 - IVmath in Beitrag No. 23) Im Argument das danach kommt ist der Fall, dass die Gleichung nur eine einzige Lösung hat, behandelt.\quoteoff Eben nicht, das Argument, was danach kommt, funktioniert auch, wenn es mehr als eine Lösung gibt.\quoteoff Ja, aber uns Ungeübten fehlt da irgendwie noch ein Schritt, der uns darauf hinweist, dass der Fall mehrerer Lösungen mit berücksichtigt ist. Danke. Ich werd's bei Gelegenheit mal versuchen, umzuformulieren.


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  Beitrag No.28, eingetragen 2021-12-20 18:14

\quoteon(2021-12-20 17:32 - IVmath in Beitrag No. 26) Der Satz macht Sinn, wenn nicht nur $\alpha\in M$, sondern $\alpha\in M_\alpha\subset M$. \quoteoff Was ist denn $M_\alpha$? Unabhängig davon hilft das aber auch gar nichts, mein Argument sagt ja, dass für kein $\alpha$ eine nutzbare Aussage entsteht, wenn $F$ die Menge der elementaren Funktionen ist (oder irgendeine andere Menge von Funktionen, die alle Polynomfunktionen vom Grad $1$ enthält). \quoteon Nimm Lins Satz ([Lin 1983]). Darin sind $f$ eine elementare Funktion, die Lösungen (außer $0$) keine elementaren Zahlen und $\alpha$ eine algebraische Zahl, also eine elementare Zahl. \quoteoff Ich habe den Eindruck, du benutzt hier implizit so etwas wie "Wenn $f$ eine elementare Funktion ist und $\alpha$ eine elementare Zahl, dann ist auch $f(\alpha)$ eine elementare Zahl." Das ist aber falsch: Nimm irgendeine nicht elementare Zahl $\beta$ und die Funktion $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ mit $f(x)=x+\beta$. Dann ist $f$ eine elementare Funktion und $f(0)$ keine elementare Zahl. \quoteon Die Elementaren Zahlen werden aus den Ganzen Zahlen erzeugt durch endliche Anwendung elementarer Funktionen. \quoteoff Das ist gemäß dem, was ich gerade geschrieben habe, mindestens irreführend formuliert. Durch endliche Anwendung elementarer Funktionen erhält man aus $\mathbb{Z}$ eben alle komplexen Zahlen, nicht nur die Elementaren.


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  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 19:30

\quoteon(2021-12-20 18:14 - DavidM in Beitrag No. 28) \quoteon(2021-12-20 17:32 - IVmath in Beitrag No. 26) Der Satz macht Sinn, wenn nicht nur $\alpha\in M$, sondern $\alpha\in M_\alpha\subset M$.\quoteoff Was ist denn $M_\alpha$?\quoteoff Das steht doch da: $M_\alpha$ ist eine echte Teilmenge von $M$. Die Definition von $M_\alpha$ steht mit in der Definition von $\alpha$. Geht das so nicht? Muss ich $M_\alpha$ vorher extra definieren? \quoteon(2021-12-20 18:14 - DavidM in Beitrag No. 28) Durch endliche Anwendung elementarer Funktionen erhält man aus $\mathbb{Z}$ eben alle komplexen Zahlen, nicht nur die Elementaren. \quoteoff Nimm z. B. Lins Satz. Gemäß Lins Satz haben die dort betrachteten Exponentialpolynomgleichungen keine elementaren Zahlen außer $0$ als Lösungen. Sie haben aber komplexe Lösungen. Die Elementaren Zahlen sind eine echte Teilmenge der Komplexen Zahlen. Das kommt daher, dass zur Definition der Elementaren Funktionen algebraische Funktionen verwendet werden - algebraisch über $\mathbb{Q}$, nicht jedoch algebraisch über $\mathbb{C}$.


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  Beitrag No.30, eingetragen 2021-12-20 19:56

\quoteon(2021-12-20 19:30 - IVmath in Beitrag No. 29) \quoteon(2021-12-20 18:14 - DavidM in Beitrag No. 28) \quoteon(2021-12-20 17:32 - IVmath in Beitrag No. 26) Der Satz macht Sinn, wenn nicht nur $\alpha\in M$, sondern $\alpha\in M_\alpha\subset M$.\quoteoff Was ist denn $M_\alpha$?\quoteoff Das steht doch da: $M_\alpha$ ist eine echte Teilmenge von $M$. Die Definition von $M_\alpha$ steht mit in der Definition von $\alpha$. Geht das so nicht? Muss ich $M_\alpha$ vorher extra definieren? \quoteoff Also ist $M_\alpha$ einfach nur irgendeine Teilmenge von $M$, die $\alpha$ enthält? Dann kann man das schon so machen, das ändert an dem Problem aber gar nichts. \quoteon \quoteon(2021-12-20 18:14 - DavidM in Beitrag No. 28) Durch endliche Anwendung elementarer Funktionen erhält man aus $\mathbb{Z}$ eben alle komplexen Zahlen, nicht nur die Elementaren. \quoteoff Nimm z. B. Lins Satz. Gemäß Lins Satz haben die dort betrachteten Exponentialpolynomgleichungen keine elementaren Zahlen außer $0$ als Lösungen. Sie haben aber komplexe Lösungen. Die Elementaren Zahlen sind eine echte Teilmenge der Komplexen Zahlen. \quoteoff Dass die elementaren Zahlen eine echte Teilmenge der komplexen Zahlen sind, ist mir klar. Das ist aber auch nicht mein Punkt. Sondern es geht mir darum, dass "elementare Zahlen" eben etwas anderes sind als "Zahlen, die sich mit elementaren Funktionen aus ganzen Zahlen mit elementaren Funktionen gewinnen lassen".


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  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 20:48

\quoteon(2021-12-20 18:14 - DavidM in Beitrag No. 28) Nimm irgendeine nicht elementare Zahl $\beta$ und die Funktion $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ mit $f(x)=x+\beta$. Dann ist $f$ eine elementare Funktion und $f(0)$ keine elementare Zahl. \quoteoff Ich denke, $f$ ist nur eine elementare Funktion wenn $\beta$ eine elementare Zahl ist. Wie erzeugst Du die nicht-elementaren Konstanten Deiner elementaren Funktionen? Die elementaren Funktionen haben doch nur eine einzige Variable. \quoteon(2021-12-20 19:56 - DavidM in Beitrag No. 30) Das ist aber auch nicht mein Punkt. Sondern es geht mir darum, dass "elementare Zahlen" eben etwas anderes sind als "Zahlen, die sich mit elementaren Funktionen aus ganzen Zahlen mit elementaren Funktionen gewinnen lassen".\quoteoff Ich verwende folgende Definition der Elementaren Zahlen. [Lin 1983]: "If we start with the rational numbers, adjoining values of exp and ln, taking algebraic closure, and iterating these operations, we will obtain the elementary numbers." Das passt mit der differentialalgebraischen Definition der Elementaren Funktionen von Liouville zusammen. Oder was meinst Du?


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  Beitrag No.32, eingetragen 2021-12-20 21:32

Okay, bei der Definition von elementaren Zahlen sind wir uns soweit einig. Bei den elementaren Funktionen müssen wir jetzt aufpassen. Aus dem entsprechenden Abschnitt in dem Wikipedia-Artikel werde ich ehrlich gesagt nicht recht schlau. Die scheint mir sehr ungeschickt formuliert zu sein. Ist $x+e^x$ eine elementare Funktion? Wenn man die Definition wörtlich nimmt, nein, es sollte aber wohl eine sein, zumal der Artikel weiter oben ja schreibt, dass Summen von elementaren Funktionen wieder elementar sind. Viel entscheidender für uns hier ist aber etwas anderes: Man muss ja für die Definition einen Grundkörper $F$ wählen. Der Artikel schreibt da, man könne zum Beispiel $\mathbb{Q}(x)$ nehmen und das ist vermutlich auch das, woran du gedacht hast. Soweit ich weiß, ist das aber nicht das, was man üblicherweise meint, wenn man sagt, dass zum Beispiel die Lambert-W-Funktion keine elementare Funktion sei, ist aber soweit ich weiß etwas anderes, nämlich $F=\mathbb{C}(x)$. Damit ist dann insbesondere jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten eine elementare Funktion. Das ist es, worauf ich in meinen letzten Beiträgen angespielt habe. In dem "Examples"-Abschnitt vom Wikipedia-Artikel wird ja auch gesagt, dass transzendente Konstanten elementar sind, was, soweit ich es verstehe, nur so funktioniert.


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  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20 22:32

In der Differentialalgebra werden "elementare Funktionen über einem Körper" definiert. Ich gebe als Konstantenkörper $Q$ vor. Damit ergeben sich für die elementaren Funktionen elementare Zahlen als Konstanten. Das passt insofern gut, als dass eine Funktion mit nicht-elementaren Konstanten schlecht elementare Funktion genannt werden kann. Es ist nicht einzusehen, wenn die Elementaren Funktionen mit Konstanten definiert werden, die beliebige komplexe Zahlen sind, die Elementaren Zahlen aber nur eine Teilmenge der Komplexen Zahlen sind. Ich verwende die Definition von Ritt [Ritt 1925]: "The elementary functions are understood here to be those which are obtained in a finite number of steps by performing algebraic operations and taking exponentials and logarithms. … In what follows the algebraic functions will frequently be called functions of order zero, and the variable z a monomial of order zero. 3. The functions $e^v$ and log v, where v is any non-constant algebraic function, are called by Liouville monomials of the first order." Mit exponentials und logarithms könnten auch die mit nicht-elementarer Basis gemeint sein. Aber im weiteren Text werden nur exp und ln verwendet. Genauso in Ritt, J. F.: Integration in finite terms. Liouville's theory of elementary methods. Columbia University Press, 1948. Warum sollte die Funktion im Komplexen $x\mapsto x+e^x$ keine elementare Funktion sein? Wenn jede Polynomfunktion mit komplexen (also nicht nur elementaren) Koeffizienten eine elementare Funktion ist, dann sind alle komplexen Zahlen elementare Zahlen. Meinst Du das hier? "An element h is a constant if ∂h = 0. If the base field is over the rationals, care must be taken when extending the field to add the needed transcendental constants." Das heißt vielleicht gerade, dass nur elementare transzendente Konstanten adjungiert werden dürfen.


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  Beitrag No.34, eingetragen 2021-12-21 01:51

\quoteon(2021-12-20 22:32 - IVmath in Beitrag No. 33) Wenn jede Polynomfunktion mit komplexen (also nicht nur elementaren) Koeffizienten eine elementare Funktion ist, dann sind alle komplexen Zahlen elementare Zahlen. \quoteoff Darauf, dass man hier mit den Begriffen etwas sorgfältiger umgehen muss, wird beispielsweise in dem Artikel von Chow hingewiesen, mit dem du dich doch auch schon beschäftigt hast: [...] but observe that what we need [...] is a notion of a closed-form number rather than a closed-form function. The distinction is important; we cannot, for example, simply define an “elementary number” to be any number obtainable by evaluating an elementary function at a point, because all constant functions are elementary, and this definition would make all numbers elementary. --zippy


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  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-21 11:19

\quoteon(2021-12-21 01:51 - zippy in Beitrag No. 34) beispielsweise in dem Artikel von Chow ...: [...] but observe that what we need [...] is a notion of a closed-form number rather than a closed-form function. The distinction is important; we cannot, for example, simply define an “elementary number” to be any number obtainable by evaluating an elementary function at a point, because all constant functions are elementary, and this definition would make all numbers elementary. \quoteoff Mit der differentialalgebraischen Definition der Elementaren Funktionen und $\mathbb{C}$ als Konstantenkörper sind alle konstanten Funktionen elementare Funktionen. Mit $\mathbb{Q}$ als Konstantenkörper, was dann die Elementaren Funktionen nach Ritt ergibt, ist das nicht mehr so. Bei mir passen die elementaren Zahlen und die elementaren Funktionen zusammen. Und vermutlich ist mein Satz besonders dann sinnvoll, wenn die jeweilige Konstantenmenge $M_\alpha$ abgeschlossen ist bezüglich der Anwendung der Funktionen in $F$. Ihr habt recht, ich muss darauf hinweisen, welche Definition der Elementaren Funktionen ich verwende. Es wäre schön, wenn Ihr dazu auch nochmal eine Rückmeldung geben könntet.


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\quoteon(2021-12-21 11:19 - IVmath in Beitrag No. 35) Ihr habt recht, ich muss darauf hinweisen, welche Definition der Elementaren Funktionen ich verwende. Es wäre schön, wenn Ihr dazu auch nochmal eine Rückmeldung geben könntet. \quoteoff Ja, ich denke, so kann man das machen.


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IVmath hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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