Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Operatornorm schwach-*-Konvergenz
Autor
Universität/Hochschule J Operatornorm schwach-*-Konvergenz
LamyOriginal
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 358
  Themenstart: 2021-11-30

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sei $X=L^{\infty}([0,1])$ und $T_{\epsilon}: X\rightarrow \mathbb{R}$, $T_{\epsilon}f:=\frac{1}{\epsilon}\int_0^{\epsilon}fdx$ mit $f\in X, \epsilon\in (0,1]$. Zeige: (a) $||T_{\epsilon}||_{X'}=1 \forall \epsilon$ und (b) $\exists$ Folge in $T_{\epsilon}$ ohne schwach-$\ast$ konvergenter TF in $X'$ Zu (a) hier komme ich irgendwie mit den Normen durcheinander... nach VL ist der Dualraum von $L^{1}$ isomorph zu $L^{\infty}$ (gilt denke auch andersrum?). Arbeite ich also mit $||T_{\epsilon}||_{X'}=||T_{\epsilon}||_{L^{1}}$ oder der klassischen Definition der Operatornorm $||T_{\epsilon}||_{X'}=sup_{f\in X}\{||T_{\epsilon} f||_{\mathbb{R}}:||f||_X\leq 1\}$? Die $\mathbb{R}$-Norm ist der Betrag, also: $|T_{\epsilon}f|=\frac{1}{\epsilon}\int_0^{\epsilon} f(x)dx\leq ||f||_X$? Wie komme ich auf Gleichheit? zu (b) gab es den Hinweis geeignete $\epsilon_k$ und Funktionen $\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\chi_{[\epsilon_{k+1},\epsilon_k]}$ zu betrachten. Wir haben einen Satz im Skript: "X separabler BR. Dann besitzt jede beschränkte Folge in $X'$ eine schwach$\ast$ konvergente Teilfolge", aber $X$ ist hier ja nicht separabel und mich verwirrt, dass wir im Satz eine Folge in $X'$ betrachten und in der Aufgabenstellung eine in $T_{\epsilon}$... Vielen Dank für jede Hilfe!!


Wahlurne Für LamyOriginal bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 272
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-02

Moin LamyOriginal, \quoteon(2021-11-30 16:39 - LamyOriginal im Themenstart) Zu (a) hier komme ich irgendwie mit den Normen durcheinander... nach VL ist der Dualraum von $L^{1}$ isomorph zu $L^{\infty}$ (gilt denke auch andersrum?). \quoteoff Andersherum gilt das nicht, vielmehr ist $(L^{\infty}([0,1]))'$ isomorph zum Raum aller endlich-additiven, bzgl. $\lambda$ absolut stetigen Maße auf $[0,1]$. Dementsprechend arbeitest du in \quoteon(2021-11-30 16:39 - LamyOriginal im Themenstart) Arbeite ich also mit $||T_{\epsilon}||_{X'}=||T_{\epsilon}||_{L^{1}}$ oder der klassischen Definition der Operatornorm $||T_{\epsilon}||_{X'}=sup_{f\in X}\{||T_{\epsilon} f||_{\mathbb{R}}:||f||_X\leq 1\}$? Die $\mathbb{R}$-Norm ist der Betrag, also: $|T_{\epsilon}f|=\frac{1}{\epsilon}\int_0^{\epsilon} f(x)dx\leq ||f||_X$? Wie komme ich auf Gleichheit? \quoteoff mit der Definition der Operatornorm $\|T_{\epsilon}\|_{X'}$. Du hast schon gezeigt, dass $\|T_{\epsilon}\|_{X'} \le 1$ gilt. Um Gleichheit zu zeigen, suche dir ein $f \in L^{\infty}([0,1])$ mit $\|f\|_X = 1 = |T_{\epsilon} f|$. \quoteon(2021-11-30 16:39 - LamyOriginal im Themenstart) zu (b) gab es den Hinweis geeignete $\epsilon_k$ und Funktionen $\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\chi_{[\epsilon_{k+1},\epsilon_k]}$ zu betrachten. Wir haben einen Satz im Skript: "X separabler BR. Dann besitzt jede beschränkte Folge in $X'$ eine schwach$\ast$ konvergente Teilfolge", aber $X$ ist hier ja nicht separabel und mich verwirrt, dass wir im Satz eine Folge in $X'$ betrachten und in der Aufgabenstellung eine in $T_{\epsilon}$... \quoteoff Gemeint ist, dass du eine Folge $(T_{\epsilon_k})$, bestehend aus Elementen der angegebenen Funktionalfamilie, mit der genannten Eigenschaft finden sollst. Das funktioniert etwa, indem du $\epsilon_k := q^k$ mit einem geeignet gewählten $q \in (0,1)$ setzt. Definiere dann zu einer beliebig vorgegebenen Teilfolge $(T_{\epsilon_{k_l}})$ die Funktion $f := \sum_{l = 0}^{\infty} (-1)^l 1_{[\epsilon_{k_{l+1}},\epsilon_{k_l}]}$. Zeige, dass die Folge $(T_{\epsilon_{k_l}} f)$ nicht konvergiert. LG, semasch


Wahlurne Für semasch bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
LamyOriginal
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 358
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02

Vielen Dank für deine Hilfe semasch! \quoteon(2021-12-02 06:30 - semasch in Beitrag No. 1) Gemeint ist, dass du eine Folge $(T_{\epsilon_k})$, bestehend aus Elementen der angegebenen Funktionalfamilie, mit der genannten Eigenschaft finden sollst. Das funktioniert etwa, indem du $\epsilon_k := q^k$ mit einem geeignet gewählten $q \in (0,1)$ setzt. Definiere dann zu einer beliebig vorgegebenen Teilfolge $(T_{\epsilon_{k_l}})$ die Funktion $f := \sum_{l = 0}^{\infty} (-1)^l 1_{[\epsilon_{k_{l+1}},\epsilon_{k_l}}$. Zeige, dass die Folge $(T_{\epsilon_{k_l}} f)$ nicht konvergiert. \quoteoff Wenn ich $\epsilon_k := q^k$ mit einem geeignet gewählten $q \in (0,1)$ betrachte, habe ich ja eine monoton fallende Folge und $f:=\sum_{l= 0}^{\infty}(-1)^l$ $\chi_{[\epsilon_{k+1},\epsilon_k]}$ ist eine alternierende Reihe. Heißt ich muss schauen, ob $(T_{\epsilon_{k_l}} f) = \frac{1}{\epsilon_{k_l}}\int_0^{\epsilon_{k_l}}\sum_{l = 0}^{\infty}(-1)^l$ $\chi_{[\epsilon_{k_{l+1}},\epsilon_{k_l}]}dx$ konvergiert? Dabei kann ich ja die Integralgrenzen durch die charakteristische Funktion abändern: $(T_{\epsilon_{k_l}} f) = \frac{1}{\epsilon_{k_l}}\int_{\epsilon_{k_{l+1}}}^{\epsilon_{k_l}}\sum_{l = 0}^{\infty} (-1)^l dx = \frac{\epsilon_{k_l}-\epsilon_{k_{l+1}}}{\epsilon_{k_l}}\sum_{l = 0}^{\infty} (-1)^l dx = (1-\frac{\epsilon_{k_{l+1}}}{\epsilon_{k_l}})\sum_{l = 0}^{\infty} (-1)^l$, oder? Dabei divergiert die Reihe und der vordere Term ist beschränkt, da Zähler


Wahlurne Für LamyOriginal bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 272
Wohnort: Wien
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-04

\quoteon(2021-12-02 21:39 - LamyOriginal in Beitrag No. 2) Wenn ich $\epsilon_k := q^k$ mit einem geeignet gewählten $q \in (0,1)$ betrachte, habe ich ja eine monoton fallende Folge und $f:=\sum_{l= 0}^{\infty}(-1)^l$ $\chi_{[\epsilon_{k+1},\epsilon_k]}$ ist eine alternierende Reihe. \quoteoff Hier fehlt der Index $l$ an den $k$'s. \quoteon(2021-12-02 21:39 - LamyOriginal in Beitrag No. 2) Heißt ich muss schauen, ob $(T_{\epsilon_{k_l}} f) = \frac{1}{\epsilon_{k_l}}\int_0^{\epsilon_{k_l}}\sum_{l = 0}^{\infty}(-1)^l$ $\chi_{[\epsilon_{k_{l+1}},\epsilon_{k_l}]}dx$ konvergiert? \quoteoff Ja, allerdings muss hier der Summationsindex natürlich anders als $l$ heißen, etwa $l'$. Im nachfolgenden Absatz \quoteon(2021-12-02 21:39 - LamyOriginal in Beitrag No. 2) Dabei kann ich ja die Integralgrenzen durch die charakteristische Funktion abändern: $(T_{\epsilon_{k_l}} f) = \frac{1}{\epsilon_{k_l}}\int_{\epsilon_{k_{l+1}}}^{\epsilon_{k_l}}\sum_{l = 0}^{\infty} (-1)^l dx = \frac{\epsilon_{k_l}-\epsilon_{k_{l+1}}}{\epsilon_{k_l}}\sum_{l = 0}^{\infty} (-1)^l dx = (1-\frac{\epsilon_{k_{l+1}}}{\epsilon_{k_l}})\sum_{l = 0}^{\infty} (-1)^l$, oder? Dabei divergiert die Reihe und der vordere Term ist beschränkt, da Zähler


Wahlurne Für semasch bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
LamyOriginal
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 358
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-04

Vielen Dank für deine Antwort! \quoteon(2021-12-04 01:53 - semasch in Beitrag No. 3) Jetzt überlegst du dir, dass für $\epsilon_k \downarrow 0$, insbesondere also für $\epsilon_k = q^k$, weiter \[\sum_{l' = l+1}^{\infty} (-1)^{l'-l-1} (\epsilon_{k_{l'}}-\epsilon_{k_{l'+1}}) \le \epsilon_{k_{l+1}}\] gilt. \quoteoff Wenn ich die Reihe ausschreibe erhalte ich $\epsilon_{k_{l+1}}-2(\epsilon_{k_{l+2}}-\epsilon_{k_{l+3}}+\epsilon_{k_{l+4}}-...)$. Da $\epsilon_k$ nach Wahl eine monoton fallende Nullfolge ist, gilt ja auch, dass jede TF gegen Null konvergiert mit $\epsilon_{k_{l+1}}\geq \epsilon_{k_{l+2}}$, also ist für geeignetes $q$ die Reihe kleiner gleich $\epsilon_{k_{l+1}}$. Oder soll ich das Leibniz-Kriterium anwenden? Es ist ja eine alternierende Reihe mit $\epsilon_k$ nach Wahl monoton fallende Nullfolge... \quoteon Folgere daraus, dass \[\frac{1}{\epsilon_{k_l}} \left(\epsilon_{k_l}-\epsilon_{k_{l+1}} - \sum_{l' = l+1}^{\infty} (-1)^{l'-l-1} (\epsilon_{k_{l'}}-\epsilon_{k_{l'+1}})\right) \ge 1-2q \tag{2}\] gilt. \quoteoff Es gilt nach eben: $-\sum_{l' = l+1}^{\infty} (-1)^{l'-l-1} (\epsilon_{k_{l'}}-\epsilon_{k_{l'+1}}) \geq -\epsilon_{k_{l+1}}$. Also kann ich $(1)$ im Betrag abschätzen durch $|T_{\epsilon_{k_l}} f|=\frac{1}{\epsilon_{k_l}} \left(\epsilon_{k_l}-\epsilon_{k_{l+1}} - \sum_{l' = l+1}^{\infty} (-1)^{l'-l-1} (\epsilon_{k_{l'}}-\epsilon_{k_{l'+1}})\right) \geq \frac{1}{\epsilon_{k_l}} (\epsilon_{k_l}-2\epsilon_{k_{l+1}}) =1-2\underbrace{\frac{\epsilon_{k_{l+1}}}{\epsilon_{k_l}}}_{\leq 1}$ Ich weiß, dass $q\in(0,1)$, wie bringe ich das hier ein? \quoteon Kombiniere $(1)$ mit $(2)$, um die Nichtkonvergenz für geeignet gewähltes $q$ zu folgern. \quoteoff Ich konnte $|T_{\epsilon_{k_l}} f|$ also nach unten abschätzen, was sagt mir das denn dann über die Konvergenz aus? Ich habe ja eine alternierende Folge im Betrag abgeschätzt. Falls der Grenzwert davon ungleich $0$ ist, ist die gesamte Folge divergent, oder nicht? Heißt wenn $|T_{\epsilon_{k_l}} f|\geq 1-2q >0$, habe ich die Divergenz? Also muss zusätzlich noch gelten $q<\frac{1}{2}$?? Danke für jede Hilfe!


Wahlurne Für LamyOriginal bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
LamyOriginal
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 358
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Hat sich erledigt, habs hinbekommen :) Vielen Dank für die Hilfe!


Wahlurne Für LamyOriginal bei den Matheplanet-Awards stimmen
   Profil
LamyOriginal hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LamyOriginal hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]