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 Volumen vom Schnitt zweier Mengen |
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raNoMathe
Junior 
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 |  Themenstart: 2022-01-16
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Ich soll das Volumen vom Schnitt der folgenden Mengen berechnen:
$$M_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2\leq 1\}\text{ und }M_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2\leq\frac{1}{2}\}$$
So bin ich auf folgende Intervallgrenzen von \(x,y,z\) gekommen:
$$0 \leq z \leq 1$$
$$-\sqrt{0,5-y^2}\leq x \leq \sqrt{0,5-y^2}$$
$$-\sqrt{0,5-x^2}\leq y \leq \sqrt{0,5-x^2}$$
Allerdings weiß ich nun nicht mehr weiter und freue mich über jeden Hinweis
MfG Ramona
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Kuestenkind
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-16
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Huhu Ramona,
herzlich willkommen auf dem Planeten. Ich würde mit Zylinderkoordinaten arbeiten. Ist dieses bekannt? Außerdem kannst du Symmetrie zur xy-Ebene nutzen.
Gruß,
Küstenkind
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raNoMathe
Junior
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17
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Hey Kuestenkind
Mir sind die Zylinderkoordinaten der folgenden Form bekannt:
$$x=\cos(\psi)$$
$$y=\sin(\psi)$$
$$z=h$$
Dann kann ich dadurch auch die Jacobi-Matrix und mit ihrer Determinante das Volumen berechnen, allerdings weiß ich gerade nicht, wie ich auf die Zylinderkoordinaten komme. Da bräuchte ich noch etwas Hilfe
LG Ramona
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Kuestenkind
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-17
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Huhu Ramona,
steht das wirklich so in deinen Unterlagen? Ich zähle auf der linke Seite drei Variablen und auf der rechten Seite nur noch zwei. Kontrolliere nochmal.
Ist dir klar was für Körper deine Mengen beschreiben bzw. dann auch die Symmetrie zur xy-Ebene?
Gruß,
Küstenkind
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raNoMathe
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17
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Also jetzt bin ich sehr verwirrt, was du meinst... Also ich war der Meinung, das von mit angegebene sind Zylinderkoordinaten. Entweder ich habe gerade einen riesigen Denkfehler oder ich missverstehe dich komplett. Oder beides
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Kuestenkind
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-01-17
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Ich vermisse den Radius - also ein \(r\).
Gruß,
Küstenkind
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raNoMathe
Junior
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17
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Oh Gott natürlich, das habe ich gar nicht gesehen, dass es fehlt und auch dauerhaft überlesen irgendwie. Also natürlich müssen diese so aussehen:
$$x=r\cos(\psi)$$
$$y=r\sin(\psi)$$
$$z=h$$
Ich glaube an sich müsste \(M_2\) ein Zylinder mit unendlicher Höhe sein und \(M_1\) eine Bipyramide.
Aber so richtig komme ich noch nicht auf einen Ansatz :/
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Kuestenkind
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-01-17
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Nun stimmen die Koordinaten. Wie du auf Pyramiden kommst verstehe ich nicht wirklich. Die Menge \(M_1\) beschreibt eine Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1. Siehe hier. Die Menge \(M_2\) beschreibt im \(\mathbb{R}^2\) ja erstmal ein Kreis um den Ursprung mit Radius \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) - und somit entsteht im \(\mathbb{R}^3\) mit beliebigen \(z\) eben ein Zylinder (unendlich hoch). Diesen Schnitt suchen wir nun. Ist dir damit die Symmetrie klar, von der ich spreche? Denn können wir die untere Integralgrenze für \(h\) nämlich Null setzen. Für die obere formst du denn \(x^2+y^2+z^2\leq 1\) um und ersetzt entsprechend. Was erhältst du?
Gruß,
Küstenkind
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raNoMathe
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17
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Bei \(M_1\) hatte ich mich verschrieben. Das ist natürlich ein Zylinder. Bei \(M_2\) hatte ich mir das ganze falssch vorgestellt, jetzt ist mir aber klar, dass es eine Kugel ist.
Also da \(z\) nur durch \(M_1\) beschränkt ist, folgen die Grenzen:
$$\int_{0}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}\text{ d}z$$
Mein Problem ist jetzt, dass ja \(x\) und \(y\) sowohl durch \(M_1\) als auch \(M_2\) beschränkt sind.
Sorry, ich stelle mich hier gerade echt dumm an, aber irgendwie steig ich da noch nicht durch.
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Kuestenkind
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-01-17
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Anstatt \(x\), \(y\) und \(z\) wolltest du nun \(r\), \(\psi\) und \(h\) schreiben.
Gruß,
Küstenkind
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raNoMathe
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-17
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Also die Integrale einfach für den Zylinder müssten doch wie folgt aussehen:
$$2\int\limits_{0}^{?}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\text{ d} r \text{ d} \psi \text{ d} h$$
Ich komme jetzt irgendwie nicht ganz drauf, wie ich die Begrenzung vo \(z\) in Zylinderkoordinaten schreibe. Kann ich die mit \(x\) und \(y\) berechnete Begrenzung nun einfach nutzen und \(x\) und \(y\) durch die Zylinderkoordinaten ersetzen?
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Kuestenkind
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-01-18
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Huhu Ramona,
ja - natürlich. Beachte denn noch Pythagoras. Es ergibt sich \(\sqrt{1-r^2}\). Du darfst dann natürlich nicht zum Schluss über \(h\) integrieren. Zudem brauchst du noch die Funktionaldeterminate.
\(\displaystyle V=2\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-r^2}} r \, \dd h \, \dd r \,\dd \psi\)
Das solltest du nun berechnen können. Viel Erfolg!
Gruß,
Küstenkind
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