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  Längen- und Winkeltreue von orthogonalen Lineartransformationen |
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herc_boops
Junior 
Dabei seit: 15.08.2022
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2022-08-15
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Hallo Matroids!
Ich lerne grad für eine Prüfung und eine Aufgabe lautet:
Wir betrachten den euklidischen Vektorraum ℝ^n mit dem kanonischen inneren Produkt 𝑥⃗∗ 𝑦⃗,𝑥⃗,𝑦⃗ ∈ℝ^n. Eine lineare Abbildung 𝑓: ℝ^n →ℝ^n heißt orthogonal, wenn gilt:
∀ 𝑥⃗,𝑦⃗ ∈ℝ𝑛: 𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗)=𝑥⃗∗𝑦⃗
a) Man zeige, dass eine orthogonale Abbildung längen und winkeltreu ist, d.h. es gilt:
∀ 𝑥⃗,𝑦⃗ ∈ℝ𝑛: ‖𝑓(𝑥⃗)‖=‖𝑥⃗‖ und ∢(𝑓(𝑥⃗),𝑓(𝑦⃗))=∢ (𝑥⃗,𝑦⃗)
Was mich verwirrt ist die Tatsache, dass die Definition von linearen Abbildungen, die orthogonal sind, folgendermaßen lautet: 𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗)=𝑥⃗∗𝑦⃗
Ich hätte gesagt Längentreue gilt wegen
mit der Definition von orthogonalen Lineartransformation:
𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗)=𝑥⃗∗𝑦⃗
und der Definition für das Standardskalarprodukt:
𝑥⃗∗𝑦⃗=sum(xi*yi), i=1,2,...,n
und der Definition der Norm/Länge:
‖𝑥⃗‖=sqrt(𝑥⃗*𝑥⃗)
daraus folgt: 𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑥⃗)= 𝑥⃗*𝑥⃗= ‖𝑥⃗‖^2, da ‖𝑥⃗‖=sqrt(𝑥⃗*𝑥⃗)
daraus folgt: ‖𝑓(𝑥⃗)‖=‖𝑥⃗‖ (Beweis zu Ende)
und Winkeltreue wegen:
Definition von orthogonalen Lineartransformationen:
𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗)=𝑥⃗∗𝑦⃗
daraus folgt wie vorhin festgestellt: ‖𝑓(𝑥⃗)‖=‖𝑥⃗‖,
Da aufgrund der Schwarz'schen Ungleichung der Betrag des Winkels zwischen zwei Vektoren festgelegt ist als (𝑥⃗∗𝑦⃗)/ (‖𝑥⃗‖*‖𝑦⃗‖)=cos(a) (a=Winkel zwischen den Vektoren x und y)
wegen 𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗)=𝑥⃗∗𝑦⃗ und ‖𝑓(𝑥⃗)‖=‖𝑥⃗‖ können wir schreiben (𝑥⃗∗𝑦⃗)/ (‖𝑥⃗‖*‖𝑦⃗‖)= (𝑓(𝑥⃗)∗𝑓(𝑦⃗))/(‖𝑓(𝑥⃗)‖*‖𝑓(𝑦⃗)‖) (Beweis zu Ende)
Wenn das stimmt freut mich das sehr, aber mir kommt der Beweis für die Längentreue irgendwie holprig vor. Kann mir bitte jemand bestätigen, dass das stimmt bzw. auf den Mangel an Zusammenhang hinweisen?
Vielen Dank!
mit freundlichen Grüßen,
H.B.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-15
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Hallo und willkommen hier im Forum!
Denke
- für die Längentreue an den Zusammenhang zwischen Standardskalarprodukt und euklidischer Norm sowie
- für die Winkeltreue an den Zusammenhang zwischen Standardskalarprodukt und Kosinusfunktion.
(Wenn letzteres nicht zur Verfügung steht, muss man es hier eventuell zeigen.)
Edit: das hast du ja genau so gemacht, also: passt beides! 🙂
Gruß, Diophant
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