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Universität/Hochschule A-posteriori-Verteilung
Pathfinder
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  Themenstart: 2022-10-07

Hallo, ich hätte mal eine Frage zu folgender Aufgabe (a): https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54565_mathe.png Leider ist mir nicht ganz ersichtlich, warum hier wieder eine Bernoulli Verteilung als Posterior Verteilung rauskommt. Ich sehe da irgendwie nicht den Zusammenhang zwischen dieser speziellen Normalverteilung und der Bernoulli Verteilung. Hat jemand einen Idee, wie man darauf kommt?


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-07

Huhu Pathfinder, Die (Dichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion der) Posteriori-Verteilung ergibt sich doch ganz allgemein als (normiertes) Produkt: (Dichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion der) a-Priori-Verteilung * Likelihood. Oder hier "in Formeln" (wobei ich einfach $p$ für alle diskreten Dichten schreibe): $$p(\theta | y) = \frac{p(y | \theta)}{c} \cdot p(\theta)$$ mit der Normierungskonstanten $c=\sum_{\theta'} p(y | \theta') p(\theta')$. Der Bruch ist einfach eine reelle Zahl, also ist natürlich auch $\Theta | Y$ Bernoulli-verteilt. Die spezielle Verteilung von $Y$ brauchst Du nur zur Berechnung der Likelihood bzw. für den Parameter $\tilde{p}$. lg, AK


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Pathfinder
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-07

\quoteon(2022-10-07 21:54 - AnnaKath in Beitrag No. 1) Huhu Pathfinder, Die (Dichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion der) Posteriori-Verteilung ergibt sich doch ganz allgemein als (normiertes) Produkt: (Dichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion der) a-Priori-Verteilung * Likelihood. Oder hier "in Formeln" (wobei ich einfach $p$ für alle diskreten Dichten schreibe): $$p(\theta | y) = \frac{p(y | \theta)}{c} \cdot p(\theta)$$ mit der Normierungskonstanten $c=\sum_{\theta'} p(y | \theta') p(\theta')$. Der Bruch ist einfach eine reelle Zahl, also ist natürlich auch $\Theta | Y$ Bernoulli-verteilt. Die spezielle Verteilung von $Y$ brauchst Du nur zur Berechnung der Likelihood bzw. für den Parameter $\tilde{p}$. lg, AK \quoteoff Danke für die Antwort! Dieser Bruch beschreibt aber doch nicht immer eine reelle Zahl oder? Weil dann wäre ja immer die Prior Verteilung konjugiert zur Posterior Verteilung 😅 gäbe es da ein Gegenbeispiel?


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AnnaKath
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-08

Huhu, natürlich gibt es Gegenbeispiele. Nahezu jedes Beispiel dürfte ein als Gegenbeispiel dienen... Bedenke, dass $p(y|\theta)$ im Allgemeinen eine Dichte ist. lg, AK


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Bozzo
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-08

Welche Werte kann denn [Θ|Y=y] alle annehmen?


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Pathfinder
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-08

\quoteon(2022-10-08 00:24 - AnnaKath in Beitrag No. 3) Huhu, natürlich gibt es Gegenbeispiele. Nahezu jedes Beispiel dürfte ein als Gegenbeispiel dienen... Bedenke, dass $p(y|\theta)$ im Allgemeinen eine Dichte ist. lg, AK \quoteoff Magst du mir einmal erklären warum https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54565_di.png in dieser Aufgabe eine Zahl ist und keine Dichtefunktion? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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Pathfinder
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-08

\quoteon(2022-10-08 01:11 - Pathfinder in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-10-08 00:24 - AnnaKath in Beitrag No. 3) Huhu, natürlich gibt es Gegenbeispiele. Nahezu jedes Beispiel dürfte ein als Gegenbeispiel dienen... Bedenke, dass $p(y|\theta)$ im Allgemeinen eine Dichte ist. lg, AK \quoteoff Magst du mir einmal erklären warum https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54565_di.png in dieser Aufgabe eine Zahl ist und keine Dichtefunktion? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.] \quoteoff Könnte mir jemand weiterhelfen?


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Bozzo
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-10-09

Welche Werte kann denn [Θ|Y=y] alle annehmen?


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Pathfinder
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-09

\quoteon(2022-10-09 13:32 - Bozzo in Beitrag No. 7) Welche Werte kann denn [Θ|Y=y] alle annehmen? \quoteoff 1 oder 0 würde ich sagen.


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Bozzo
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-10-09

Und welche Verteilungen kann es auf {0,1} geben? Bzw., wie nennt man eine ZV, die nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann?


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Pathfinder
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-10

\quoteon(2022-10-09 21:03 - Bozzo in Beitrag No. 9) Und welche Verteilungen kann es auf {0,1} geben? Bzw., wie nennt man eine ZV, die nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann? \quoteoff Natürlich nur die Bernoulli Verteilung. Ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Aufgrund der Eigenschaften der Bernoulli Verteilung kann die Posteriori Verteilung nur Bernoulli verteilt sein bei beliebiger Likelihood, wenn der Prior Bernoulli verteilt ist oder?


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